来自人教群的 $\sin A=A\sin B$

\begin{align*}
\frac{\sin C}{\sin B}-1&=\frac{\sin (A+B)}{\sin B}-1 \\
& =\frac{\sin A\sqrt{1-\sin^2B}+\cos A\sin B}{\sin B}-1 \\
& =\sqrt{\left( \frac{\sin A}{\sin B} \right)^2-\sin^2A}+\cos A-1 \\
& =\sqrt{A^2-\sin^2A}+\cos A-1 \\
& =\frac{A^2-\sin^2A-(\cos A-1)^2}{\sqrt{A^2-\sin^2A}+1-\cos A} \\
& =\frac{A^2-2+2\cos A}{\sqrt{A^2-\sin^2A}+1-\cos A} \\
& =\frac{A^2-4\sin^2\frac A2}{\sqrt{A^2-\sin^2A}+1-\cos A} \\
& =\frac{2\left( A+2\sin \frac A2 \right)\left( \frac A2-\sin \frac A2 \right)}{\sqrt{A^2-\sin^2A}+1-\cos A} \\
& >0,
\end{align*}
故 $\sin C>\sin B$，即 $C>B$。

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kuing

2^#

发表于 2014-2-13 17:09 | 只看该作者

按道理高一题应该不用这么麻烦，不知有没有更简单的证法？

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第一章

3^#

发表于 2014-2-13 21:13 | 只看该作者

本帖最后由第一章于 2014-2-13 21:16 编辑

$tanA=\frac{sinA}{cosA}=\frac{A*sinB}{cosA}>A$，故$sinB>cosA$，……

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第一章

4^#

发表于 2014-2-13 21:15 | 只看该作者

不好……等于没证

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kuing

5^#

发表于 2014-2-13 23:39 | 只看该作者

教师-齐建民<maths352@******>  22:00:10
有人给我的解法----
正弦定理，再画个图
假设B=C,则a=bsinA/sinB
=bsinA/sin(π/2-A/2)，然后用倍角公式和诱导公式，得到a＜bA

没弄懂

教师-不求甚解(9463****)  23:00:23
这个证明过程没错，但是最后推出矛盾只能说明假设B=C不对啊
教师-齐建民<maths352@******>  23:03:58
我是没看懂
Admin-kuing  23:04:30
我也没看懂
叫他将完整过程写一下
教师-不求甚解(9463****)  23:04:36
好像修改一下可以证
教师-齐建民<maths352@******>  23:04:40
这题命题方法真是古怪，不知道啥来源
教师-不求甚解(9463****)  23:04:41
我试下
教师-不求甚解(9463****)  23:08:32
这个方法也行
我打一下
教师-不求甚解(9463****)  23:23:27

下载 (31.92 KB)

2014-2-13 23:36

Admin-kuing  23:26:17

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2014-2-13 23:38

教师-yuzi(5755*****)  23:30:12

Admin-kuing  23:30:48
用到的不等式也是 sin(A/2)<A/2，我那里也是，不过这里用得漂亮多了
教师-不求甚解(9463****)  23:31:06
这个是看了齐老师的提示和KK的解答了
教师-齐建民<maths352@******>  23:33:11
也用了课本上没有的公式
教师-yuzi(5755*****)  23:33:33

这个估计少不了
教师-不求甚解(9463****)  23:35:12
还是问问野猪吧
不是他们那的考试题吗

……

这个解答简单多了，不过其实正弦定理是不需要的，可以改写得更简单点，即
\[\frac{\sin A\sin B}{\sin\frac{\pi-A}2}=\frac{2\sin\frac A2\cos\frac A2\sin B}{\cos\frac A2}=2\sin\frac A2\sin B<A\sin B=\sin A,\]
下面一样。

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yfgkey

6^#

发表于 2014-2-14 08:21 | 只看该作者

RE: 来自人教群的 $sin A=Asin B$

本帖最后由 yfgkey 于 2014-2-14 10:18 编辑

想错了

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isee

7^#

发表于 2014-2-14 15:01 | 只看该作者

这题太特别了

解法也特别

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其妙

8^#

发表于 2014-2-15 13:31 | 只看该作者

$\sin A=A\sin B$，想用不等式$\sin x<x$，直接用的话，就是$A\sin B=\sin A<A$，故$\sin B<1$，毫无意义。

那么根据上面kuing的提示，用$A\sin B=\sin A=2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2<2\cdot\dfrac A2\cos\dfrac A2=A\cos\dfrac A2$，

于是，$\sin B<\cos\dfrac A2=\sin\dfrac{B+C}2$，$B<\dfrac{B+C}2$(角度范围略)，所以$B<C$。

其实和上面是一样的，换一种格式来书写而已。