问几道自主招生竞赛级别的题目

本帖最后由 271828 于 2014-2-12 15:02 编辑

1. 给定正数$n(n>2)$, 记 $f(n)$ 为集合$\{1,2,\cdots,2^n-1\}$ 的满足如下两个条件的子集$A$ 的元素个数的最小值.
(a)$1\in A, 2^n-1\in A$; (b)$A$ 中的元素(除1外)均为$A$ 中的另两个(可以相等)元素的和。
(1)求 $f(3)$ 的值
(2)求证: $f(100)\leq 108$

2. 若集合$A\subseteq N^*$ 满足(1)$A$ 中的元素个数不小于3; (2)若$a\in A$, 则$a$ 的所有正因子也都属于$A$; (3)若$1<a<b, a,b\in A$, 则$1+ab\in A$.
求证: (1)$\{1,2,3,4,5\}\subseteq A$; (2)$2014\in A$

3. 同时满足$1+x^4\leq 2(y-z)^2,1+y^4\leq 2(z-x)^2,1+z^4\leq 2(x-y)^2$ 的三元数组$(x,y,z)$ 的个数为多少？

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kuing

2^#

发表于 2014-2-12 15:52 | 只看该作者

第3题：由均值有
\[2(y-z)^2\geqslant1+x^4\geqslant2x^2 \riff (y-z)^2\geqslant x^2 \riff (x+y-z)(x-y+z)\leqslant0,\]
同理有另外两式，三式相乘得
\[(-x+y+z)^2(x-y+z)^2(x+y-z)^2\leqslant0,\]
故此三个因式中至少一个为 $0$。
如果 $-x+y+z=0$，则有 $1+y^4=2y^2$, $1+z^4=2z^2$，即 $y=\pm1$, $z=\pm1$，且 $1+(y+z)^4\leqslant2(y-z)^2$，故当 $y=1$ 时 $z=-1$, $x=0$，当 $y=-1$ 时 $z=1$, $x=0$。
另外两种情况同理，故共六个。

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kuing

3^#

发表于 2014-2-12 18:02 | 只看该作者

第2题：（1）由条件2知 $1\in A$；

假如 $A$ 中全为奇数，则由条件1知一定存在奇数 $a$, $b$ 且 $1<a<b$，此时 $1+ab$ 为偶数，矛盾，故 $A$ 中必有偶数，所以 $2\in A$；

假如 $3\notin A$，则由条件2知 $A$ 中的所有元素都为 $3k+1$ 或 $3k+2$ 的形式，其中 $k\in\mbb N$。如果 $c>1$ 且 $c=3k+1$，则由 $2\in A$ 及条件3知 $1+2c=3(1+2k)\in A$，得 $3\in A$，故此除了 $1$ 外全是 $3k+2$ 的形式，由条件2知，这些元素的所有正因子也都要全是 $3k+2$ 的形式，又易知这些元素不会全是质数，于是存在合数 $3k+2$ 能分解为 $ (3k_1+2)(3k_2+2)$，其中 $k_1$, $k_2\in\mbb N$，展开知矛盾，所以 $3\in A$。

由 $2$, $3\in A$ 得 $2\times3+1=7\in A$, $2\times7+1=15\in A$, $5\in A$, $3\times5+1=16\in A$, $4\in A$。

综上知 $\{1,2,3,4,5\}\subseteq A$；

（2）由 $2014=1+33\times61=1+(1+2\times16)\times(1+4\times15)$ 及前面的过程知 $2014\in A$。

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realnumber

4^#

发表于 2014-2-15 21:30 | 只看该作者

本帖最后由 realnumber 于 2014-2-15 21:48 编辑

第一题目1）穷举如下集合A可以是{1，2，3，4，7},或{1，2，3，6，7},或{1，2，4，6，7}或{1，2，3，5，7}，或{1,2,4,5,7}即$f(3)=5$.

没达到要求，
2)这样的集合符合两条，
如下B={$1,2^1,2^2,2^3....,2^{98},2^{99},2^2-1,2^3-1....,2^{98}-1,2^{99}-1,2^{100}-1$}共有元素199个.只说明$f(100)\le 199$

-----百度搜索到的 2012上海市高中数学竞赛
http://wenku.baidu.com/link?url= ... pLXQNktEH7IxQWIMdNS

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