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[不等式] 2013陕西省竞赛中的一道最值试题

若$0\leqslant  x_i\leqslant1$,$i=1,2,3,4,5$,则$M=|x_1-x_2|^3+|x_2-x_3|^3+|x_3-x_4|^3+|x_4-x_5|^3+|x_5-x_1|^3$的最大值是______.
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2014-2-10 17:19
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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记 $x_6=x_1$, $x_7=x_2$,下面先证明必定存在 $i\in \{1,2,3,4,5\}$ 使得 $(x_i-x_{i+1})(x_{i+1}-x_{i+2})\geqslant0$。

若不然,如果对所有 $i\in \{1,2,3,4,5\}$ 都有 $(x_i-x_{i+1})(x_{i+1}-x_{i+2})<0$,则有
\[\prod_{i=1}^5(x_i-x_{i+1})(x_{i+1}-x_{i+2})<0,\]

\[\left( \prod_{i=1}^5(x_i-x_{i+1}) \right)^2<0,\]
矛盾。

由此,由轮换对称性,不妨设 $(x_1-x_2)(x_2-x_3)\geqslant0$,则由 $x_i\in[0,1]$ 有
\begin{align*}
\text{原式}&=\sum_{i=1}^5\abs{x_i-x_{i+1}}^3\\
&\leqslant 3+\abs{x_1-x_2}^3+\abs{x_2-x_3}^3\\
&\leqslant 3+(\abs{x_1-x_2}+\abs{x_2-x_3})^3\\
&=3+\abs{x_1-x_3}^3\\
&\leqslant 4,
\end{align*}
当 $x_1=x_2=x_4=0$, $x_3=x_5=1$ 时取等。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 3# kuing
,这个看起来容易懂一些

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回复 4# 其妙

嗯,表达也得有技巧,你贴的那个虽然我大概知道他的意思,但是表达得有点zao,至少我看第一遍时晕头转向。

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