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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 求解一个不等式问题
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发表于 2014-2-9 20:13
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只看该作者
[不等式]
求解一个不等式问题
a≥b≥c≥0,a+b+c=3,证明:ab²+bc²+ca²≤27/8
哪位有时间帮忙分析一下,谢谢。祝大家春节快乐!
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发表于 2014-2-9 23:06
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雪落湖畔
看来大家都还忙着过年呢,哈哈,
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kuing
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发表于 2014-2-9 23:07
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只看该作者
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雪落湖畔
嗯,我刚回家,等我找找链接先。
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发表于 2014-2-10 00:59
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只看该作者
不是很难,还是自己写一遍,懒得找了。
因为 $ab^2+bc^2+ca^2-(a^2b+b^2c+c^2a)=(a-b)(b-c)(c-a)\leqslant0$,所以
\begin{align*}
ab^2+bc^2+ca^2&\leqslant\frac12(ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a) \\
& =\frac12(a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac32abc \\
& =\frac32(ab+bc+ca-abc),
\end{align*}
记 $q=ab+bc+ca$, $r=abc$,则只要证
\[q-r\leqslant\frac94.\]
(1)如果 $q\leqslant9/4$ 则显然成立;
(2)如果 $q>9/4$,则由 Schur 不等式知
\[r\geqslant\frac{4q}3-3,\]
故此
\[q-r\leqslant q-\left( \frac{4q}3-3 \right)=3-\frac q3<3-\frac34=\frac94.\]
综上知不等式成立。
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发表于 2014-2-10 01:06
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只看该作者
齐次化后用 Schur 分拆更简单。
同楼上第一步,只要证
\[4(ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a)\leqslant(a+b+c)^3,\]
整理为
\[a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)+3abc\geqslant0,\]
显然成立。
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