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青青子衿

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tT
发表于 2014-2-5 12:59 | 只看该作者

[组合] 问个排列组合题（六位数）

本帖最后由 青青子衿 于 2019-5-3 13:42 编辑

求由1,2,3,4,5,6六个数字构成的至少有三位数不同且1,6不相邻的六位数的个数
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realnumber

2#
发表于 2014-3-19 22:13 | 只看该作者
回复 1# 青青子衿


    已经解决了哪些？没头绪的话，这类问题总是特殊到一般尝试，试着穷举.

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realnumber

3#
发表于 2014-3-20 20:43 | 只看该作者
本帖最后由 realnumber 于 2014-3-22 22:08 编辑

看题目意思是允许数字重复出现,
一、不含1，6的六位数,且至少有三位数不同
$4^6-C_4^22^6+C_4^1$----过几天写，没理清楚.
2，3，4，5四个数字全出现,其中一个数字出现3次,其余3个数字各一次构成的6位数有$C_6^3C_4^1A_3^3=480$个;2各数字各二次，另2各数字各一次的$\frac{C_6^2C_4^1C_4^2C_3^1}{2}A_2^2=1080$.
2，3，4，5四个数字中三个构成的6位数，$C_4^3$

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tommywong

4#
发表于 2014-3-21 18:18 | 只看该作者
本帖最后由 tommywong 于 2019-4-28 08:30 编辑

|至少有3位数不相同|=|至多有4位数相同|=ゆ-|至少有5位数相同|
|1,6不相邻|=ゆ-|1,6相邻|

|至少有3位数不相同∩1,6不相邻|
=ゆ-|至少有5位数相同|-|1,6相邻|+|至少有5位数相同∩1,6相邻|
=ゆ-|5位数相同|-|6位数相同|-|1,6相邻|+|5位数相同∩1,6相邻|+|6位数相同∩1,6相邻|
$=6^6-6(6)(5)-6-2(5)(6^4)+2(6)+0=33522$
$=6^6-C_6^2(2^6-2)-6-?+(2^6-2)+0=?$

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青青子衿

5#
发表于 2014-3-22 12:22 | 只看该作者
回复 4# tommywong
|至少有3位数不相同|=|至多有4位数相同|=ゆ-|至少有5位数相同|
|1,6不相邻|=ゆ-|1,6相邻|
|至少有3位数不相同∩1,6不相邻| ...
tommywong 发表于 2014-3-21 18:18

可是答案给的是：35080

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tommywong

6#
发表于 2014-3-22 15:40 | 只看该作者
本帖最后由 tommywong 于 2019-4-28 08:30 编辑

{??????}=2{1?????}+4{2?????}
{1?????}={11????}+4{12????}
{11111?}=5,{11112?}=6

f(n)=2g(n-1)+4f(n-1)
g(n)=g(n-1)+4f(n-1)
f(1)=6,g(1)=5
|1,6不相邻|=f(6)=35954

|1,6不相邻|-|5位数相同|-|6位数相同|+|5位数相同∩1,6相邻|+|6位数相同∩1,6相邻|
$=35954-6(6)(5)-6+2(6)+0=35780$......
$=35954-C_6^2(2^6-2)-6+(2^6-2)+0=35080$

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Infinity

7#
发表于 2019-4-26 17:43 | 只看该作者
考虑问题的反面：数字1-6组成的六位数中满足以下条件的集合
A={"至多有2位数不同"}，B={"1,6相邻"}
$|A|=6+C_6^2(6!/(3!3!)+2(6!/5!+6!/(2!4!)))=936$，$|B|=10702$（见https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 67&fromuid=8865）
代码验证
  1. Select[Tuples[Range[6], 6],
  2.   Length@DeleteDuplicates[#] <= 2 &] // Length
  3. Select[Tuples[Range[6], 6],
  4.   MatchQ[#, {___, 1, 6, ___} | {___, 6, 1, ___}] &] // Length
复制代码
A∩B相当于只有1和6的情况：|A∩B|=6!/(3!3!)+2[6!/5!+6!/(2!4!)]=62.
所以|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=936+10702-62=11576.
所求结果为|I|-|A∪B|=6^6-11576=35080.
代码验证
  1. Select[Tuples[Range[6], 6],
  2.   Length@DeleteDuplicates[#] >= 3 && !
  3.      MatchQ[#, {___, 1, 6, ___} | {___, 6, 1, ___}] &] // Length
复制代码

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tommywong

8#
发表于 2019-4-28 08:31 | 只看该作者
|至少有3位数不相同|=|至多有4位数相同|=ゆ-|至少有5位数相同|
|1,6不相邻|=ゆ-|1,6相邻|

|至少有3位数不 ...
tommywong 发表于 2014-3-21 18:18

{??????}=2{1?????}+4{2?????}
{1?????}={11????}+4{12????}
{11111?}=5,{11112?}=6

f(n)=2g(n-1)+4f(n-1) ...
tommywong 发表于 2014-3-22 15:40


發現了出現問題的人！進行維穩工作！

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tommywong

9#
发表于 2019-4-28 10:57 | 只看该作者
設f(n)為在n個位上擺放m個不同數字，其中兩個數字a,b不相鄰的排列數

$f(1)=m,f(2)=m^2-2,f(n)=(m-1)f(n-1)+(m-2)f(n-2)$

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