[几何] 又一面积证明题

证明图中的抛物线弧与直线所围成的面积相等。
(PS:图中有覆盖部分)

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kuing

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发表于 2014-2-1 21:32 | 只看该作者

具体题目可以表达清楚点吗？MN 与 AB 平行吗？

如果是平行的话，设向上的抛物线为 $y=ax^2$，任取平行于 $AB$ 且介于 $MN$ 和 $AB$ 之间的直线 $L:y=kx+b$，设 $L$ 被向上的抛物线截得的弦张为 $s_1$，被斜向的抛物线截得的弦长为 $s_2$。
由弦长公式易证 $s_1$ 可以表示成 $f_1(b)=\sqrt{m_1b+n_1}$ 的形式，又显然 $s_2$ 亦能表示成 $f_2(b)=\sqrt{m_2b+n_2}$ 的形式，而当 $L$ 为 $MN$ 及 $AB$ 两个位置时都有 $f_1(b)=f_2(b)$，可见 $f_1(b)$ 和 $f_2(b)$ 必然是恒等的，即 $L$ 被两抛物线所截的弦长总是相同的，从而由祖X原理知两个面积相同。

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