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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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longzaifei
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发表于 2014-1-12 11:34
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[不等式]
求教一道不等式
$a,b,c\ge0,a^2+b^2+c^2=1,$求证: \[ \sqrt{\dfrac{a}{1+bc}}+ \sqrt{\dfrac{b}{1+ca} }+\sqrt{\dfrac{c}{1+ab}} \ge1 \]
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发表于 2014-1-12 13:56
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只看该作者
由 Holder 不等式有
\[\left( \sum\sqrt{\frac a{1+bc}} \right)^2\sum(a^2+a^2bc)\geqslant \left( \sum a \right)^3,\]
因此只要证
\[\left( \sum a \right)^3\geqslant 1+abc\sum a,\]
由 $\left( \sum a \right)^2\geqslant \sum a^2=1\riff\sum a\geqslant 1$ 以及 $\sum ab\leqslant \sum a^2=1$,得到
\[\left( \sum a \right)^3\geqslant \left( \sum a \right)^2=1+2\sum ab\geqslant 1+2\left( \sum ab \right)^2\geqslant 1+\frac13\left( \sum ab \right)^2\geqslant 1+abc\sum a,\]
故得证。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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longzaifei
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发表于 2014-1-12 14:16
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K哥V5!!!!!!!谢谢
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