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[函数] 来自人教群的抽象函数 $f(-x)+f(x)=x^2$, $x>0,f'(x)>x$

QQ截图20140106142425.gif
2014-1-6 14:23

令 $g(x)=f(x)-x^2/2$,则
\[g(-x)+g(x)=f(-x)-\frac12(-x)^2+f(x)-\frac12x^2=0,\]
故 $g(x)$ 为奇函数,当 $x>0$ 时,$g'(x)=f'(x)-x>0$,故 $g(x)$ 为增函数(且显然是严格递增的),而
\begin{align*}
f(2-a)-f(a)-2+2a&=f(2-a)-\frac12(2-a)^2-\left( f(a)-\frac12a^2 \right) \\
& =g(2-a)-g(a),
\end{align*}

\[g(2-a)\geqslant g(a)\iff 2-a\geqslant a\iff a\leqslant 1.\]
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冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

忘记了做最重要的一件事,就是要证明题目没问题,这需要构造一个满足条件的函数,这很简单,比如说 $f(x)=x^2/2+x$ 即可。

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kuing 好棒,今天写了好多题

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回复 3# Tesla35

嘿嘿,一起玩啊555

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忘记了做最重要的一件事,就是要证明题目没问题,这需要构造一个满足条件的函数,这很简单,比如说 $f(x)=x ...
kuing 发表于 2014-1-6 16:55

思维好严谨,连充分性也证明了。虽然做题常常用必要性。

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回复 5# 其妙

没办法,抽象函数错题见多了

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看来突破口就在于$f'(x)>x$这一条件

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看来突破口就在于$f'(x)>x$这一条件
第一章 发表于 2014-1-8 00:11
$f'(x)>x$,$f'(x)-x>0$,积分得:$g(x)=f(x)-\dfrac{x^2}2+C$($C$为常数),

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回复 1# kuing

牛!
这个是13年卓越的题.

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回复  kuing

牛!
这个是13年卓越的题.
wenshengli 发表于 2014-1-9 10:07

出处dang牛笔!

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学习

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回复 1# kuing

在x>0时,是增函数。由g(x)是奇函数可知,在x<0时,也是增函数,但未必在(-∞,+∞)上是增函数啊。比如也可能是这样的奇函数,x∈(-∞,0)时,f(x)<3;x∈(0,+∞)时,f(x)>-3;f(0)=0。假定以0为分界点的两边都是增函数,显然整个定义域上却不是增函数。

请教大师,您怎么知道g(x)在全域上都是增函数?

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回复 12# 走走看看

请念题目第一句话100遍

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回复 13# kuing


  明白了,可导必连续。

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回复 8# 其妙
除了用积分法的暗示而外,还有个一暗示就是构造奇函数,并且一次函数是两个“同型的”二次函数之差,

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