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[函数] 一道月考题,涉及到“p或q”恒成立问题

本帖最后由 第一章 于 2013-9-8 22:37 编辑

开学第一周,累到像条狗一样,还好有双休,
今天整理了一下这几年高三的资料,发现了一个月考题,个人觉得原解法有误,贴一下
题.已知定义在$(-∞,-1)\cup(1,+∞)$上的奇函数$f(x)$满足:①$f(3)=1$;②对任意的$x>2$均有$f(x)>0$;③对任意的$x>0,y>0$,均有$f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)$.
(1)求$f(2)$的值;
(2)证明$f(x)$在$(1,+∞)$上为增函数;
(3)是否存在实数$a$,使得$f(\cos^2θ+a\sinθ)<3$对任意的$θ∈(0,π)$恒成立?若存在,求出$a$的取值范围;若不存在,请说明理由.
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其实上个月就发现有误了,只是今天才把完整的解答打了出来。
想想当初考试的时候怎么就没发现?这是多么显然的错误啊……

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估计很多人没兴趣,不管了,先贴原解答:
分析:(1)在式子$f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)$中,取$x=y=1$,得$f(2)=0$;
(2)在$(1,+∞)$任取$x_1,x_2$,且$x_1<x_2$,则$x_2-1>x_1-1>0,\frac{x_2-1}{x_1-1}>1$
于是$f(x_2)-f(x_1)=f(x_2-1+1)-f(x_1-1+1)=f(\frac{x_2-1}{x_1-1}+1)>0$,
即$f(x)$在$(1,+∞)$为增函数;
(3)取$x=y=2$,可得$f(5)=2$;取$x=2,y=4$,可得$f(9)=3$,
取$x=8,y=\frac{1}{8}$,可得$f(\frac{9}{8})=-3$;于是有$f(-\frac{9}{8})=3$,
结合$f(x)$的单调性,知$f(\cos^2θ+a\sinθ)<3$对任意的$θ∈(0,π)$恒成立等价于
$\cos^2θ+a\sinθ<-\frac{9}{8}$或$1<\cos^2θ+a\sinθ<9$对任意的$θ∈(0,π)$恒成立;
令$t=\sinθ$,则$0<t\le 1$,
$\cos^2θ+a\sinθ<-\frac{9}{8}$恒成立化为$t^2-at>\frac{17}{8}$,
即$a<t-\frac{17}{8t}$,但当$t→0^+$时,$t-\frac{17}{8t}→-∞$,上式不可能恒成立;
而$1<\cos^2θ+a\sinθ<9$恒成立化为$-8<t^2-at<0$,
即$t<a<t+\frac{8}{t}$恒成立,可得$1<a<9$.
综上所述,$1<a<9$.

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本帖最后由 第一章 于 2013-9-8 18:48 编辑

第(3)问的解答,“$p$或$q$恒成立”等价于“$p$恒成立或者$q$恒成立”?显然不是.
那么,一般的含参问题“$f(x,m)>0$或$g(x,m)>0$对任意的$x\in D$恒成立”该怎么处理?

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我的两种思路:
①$f(x,m)>0$在$D_1$上恒成立,同时$g(x,m)>0$在$\overline {D_1}$上恒成立;
②找到$m$的某个取值集合,使得$f(x,m)>0$在$D$上恒不成立,进而考虑$g(x,m)>0$在$D$上的取值情况即可。
采用思路②,回到原题:$t^2-at>\frac{17}{8}$或$-8<t^2-at<0$对任意$0<t\le 1$恒成立
当$a\le 0$时,$-8<t^2-at<0$在$0<t\le 1$上恒不成立;但$t^2-at$在$0<t\le 1$上单调递增,最小值为$0$,故$t^2-at>\frac{17}{8}$不恒成立;
当$a>0$时,$t^2-at$在$0<t\le 1$上的最大值为$0$或$1-a<1$,故$t^2-at>\frac{17}{8}$恒不成立;于是只要$-8<t^2-at<0$在$0<t\le 1$上恒成立,
即$t<a<t+\frac{8}{t}$恒成立,得$1<a<9$。

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顺便说一下,本题的一个具体函数还是比较好找的.
当$x>0$时,我们令$f(x+1)=g(x)$,于是条件③变成了$g(x)+g(y)=g(xy)$,显然是对数函数;于是当$x>1$时,原题的具体函数是$f(x)=g(x-1)=log_2(x-1)$,
当然,缺乏充分性的证明,还是不能把函数具体化……

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回复 6# 第一章

有单调性,足以确定……
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嗯,只是原解答错,题没错,那还好……

PS、“并”的代码是 \cup,尽量用代码。
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回复 6# 第一章
学习了!
不过咋一看也没看出原解答的毛病?现在都没怎么动脑了,一动脑一细想就头痛。现在都是瞄一下,差不多就好了
详细说一下原解答错在哪里啊?

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不是说了吗?
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回复 10# kuing
没懂
第一章的意思是不是$h(\theta)$在$\theta\in(0,\pi)$时恒有$h(\theta)\in(-\infty,-\dfrac89)\cup(1,9)$,不能分成两个区间?
也就是可能部分$h(\theta)\in(-1,-\dfrac89)$,部分$h(\theta')\in(2,3)$,还有其他的$h(\theta'')\in(4,6)$之类的?
换句话说,也许有某个$a$的值使$h(\theta)$的值域是$h(\theta)\in(-1,-\dfrac89)\cup(2,3)\cup(4,6)$?
当然本题的$h(\theta)$的值域不可能是三个区间的并,因为$h(\theta)$是连续函数值域,应该只有一个区间

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顺便提两个问题:
(1)命题$p$:$x\geqslant1$时,$f(x)=|x|\geqslant1$恒成立;命题$q$:$x\leqslant-1$时,$f(x)=|x|\geqslant1$恒成立;
那么命题“$p$或$q$”是什么?
(2)命题$p$:$x\geqslant1$时,$f(x)=|x|\geqslant1$恒成立;命题$q$:$x\leqslant0$时,$f(x)=|x|\geqslant1$恒成立;
那么命题“$p$或$q$”又是什么?真假性如何?

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那个参考答案的解答确实值得商榷
看了第一章老师的方法
我觉得也可以用等价命题--逆否命题来解决
23456.jpg
2013-9-9 03:15

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回复 13# nash
你们的意思都是觉得答案没错,是过程错了?
12楼的问没人回答啊?太简单了吧,

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回复 13# nash
这样来看原解答过程虽然错误,结果确是一样的!

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过程错而最终结果一样的常有……
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回复 16# kuing
这话显然对的……

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顺便提两个问题:
(1)命题$p$:$x\geqslant1$时,$f(x)=|x|\geqslant1$恒成立;命题$q$:$x\leqslant-1$ ...
其妙 发表于 2013-9-9 00:43

其妙这两个问题,“$p$或$q$恒成立”与“$p$恒成立或$q$恒成立”应该是等价的。
不过,很多题目出现的是在同一个定义区间上“$p$或$q$恒成立”,比如含参的绝对值不等式这类问题。
如果不是命题者故意刁难,就是命题者想错了……

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回复 18# 第一章

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