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[函数] 函数图象均在椭圆上,判断奇偶性等

怎么最简洁的写一下这个小题的过程
函数.jpg
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回复 1# 转化与化归

感觉是D

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本帖最后由 地狱的死灵 于 2013-6-16 10:31 编辑

由椭圆的对称性,
对任意定义域内的$x$,
都有$f(x)=f(-x)$或$f(x)=-f(-x)$,
假设存在$x_0$使得$f(x_0)=f(-x_0)=y_0≠0$,
则不存在$x$使得$f(x)=-y_0$,
这与值域为$(-1,1)$矛盾。
因此对任意$x$都有$f(x)+f(-x)=0$,
即$f(x)$为奇函数。

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回复 3# 地狱的死灵


高!

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回复 3# 地狱的死灵
好!

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好题目,哪里的啊?

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由图像,显然可得关于原点对称,于是为奇函数。
非要逼着写过程,那么写一下:
先说一下写法的思想(为什么要那样写):
设椭圆分成四部分:左上、左下、右上、右下
根据函数的定义,左上、左下不能同时选,右上、右下也不能同时选。
根据定义域,必须左上、左下必须选一个,右上、右下也必须选一个
但不能全选上或全选下,因为根据函数值域,必须上、下要选一个
于是只能选左上和右下,或者左下和右上,显然关于原点对称,于是为奇函数。
以上是最简单的想法,函数还是有一个间断点x=0的,
万一函数间断点不止一个呢?
想法也和上面一样,在间断点附近图像分成四部分:左上、左下、右上、右下,……,和上面同样的道理,以下略。
下面给出写法:(王大娘的裹脚又臭又长 ,其实就是一句话:显然可得)
设点$P(x_0,y_0)$是$f(x)$图像上任意点,即$y_0=f(x_0)$.
不妨设$0<x_0\leqslant2$,则当$0\leqslant y_0<1$时,(此时点$P(x_0,y_0)$在椭圆右上部分)
点$Q(-x_0,m)$是$f(x)$图像上(左上或左下)的对应于$P(x_0,y_0)$的一点,若$Q(-x_0,m)$在椭圆左上部分(此时$m=y_0$),
则$f(x)$值域将没有$y=-y_0$这个值(因为此时根据函数定义,不允许函数$f(x)$图像上有点$Q'(-x_0,-m)$),
于是$Q(-x_0,m)$在椭圆左下部分,即$-1<m<0$,由椭圆图像的对称性,必定$f(-x_0)=m=-y_0=-f(x_0)$,
即$f(-x_0)=-f(x_0)$
当$-1<y_0\leqslant0$时,(此时点$P(x_0,y_0)$在椭圆右下部分),道理也是一样,也有$f(-x_0)=-f(x_0)$

对于$-2\leqslant x_0<0$的讨论也是同理,只是那里用了不妨设$0<x_0\leqslant2$。
由于点$P(x_0,y_0)$是$f(x)$图像上任意点,都有$f(-x_0)=-f(x_0)$
故$f(x)$是奇函数。

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这解题行文风格越看越像yes94

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回复 8# isee

本来就是
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 8# isee
王大娘的裹脚又臭又长 ,其实就是一句话:显然可得

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235.JPG
2016-1-14 13:51

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本帖最后由 战巡 于 2016-1-14 19:26 编辑

回复 11# aipotuo


显然有
\[f(x)=\sqrt{1-x^2}I_{x\in A}(x)-\sqrt{1-x^2}I_{x\in B}(x)\]
其中$A$为$[-1,0)∪(0,1]$的任意子集,且$A∪B=[-1,0)∪(0,1], A∩B=∅$

于是
1显然扯淡
2当然是对的,比如我选$A=[-1,0)∪(0,0.5]$
3当然是对的
4显然扯淡,令$A=[-1,-0.5)∪(0.5,1]$就是反例

5是对的
要让$f(x)$能取到$[0,1)$上面的全部数,必须要有$\pm x, x\in (0,1]$中至少一个被包含在$A$里面,同理,至少一个则要被包含在$B$里面,然而两边不能重合,因此只能一边一个,如果$x\in A$,就必然有$-x\in B$,然后必然有$f(x)=-f(-x)$

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未命名.PNG
2016-12-31 21:42

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