本帖最后由 战巡 于 2013-12-22 07:33 编辑
回复 1# 青青子衿
定义函数$f(x)=\cosh(px), x\in (-\pi, \pi]$
对其傅里叶展开可得
\[\cosh(px)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cosh(px)dx+\frac{2}{\pi}\sum_{i=1}^{\infty}\cos(ix)\int_{0}^{\pi}\cosh(px)\cos(ix)dx\]
\[=\frac{\sinh(p\pi)}{p\pi}+\frac{2}{\pi}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{p\cos(i\pi)\sinh(p\pi)\cos(ix)}{i^2+p^2}\]
令$x=\pi$，得
\[\cosh(p\pi)=\frac{\sinh(p\pi)}{p\pi}+\frac{2}{\pi}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{p\sinh(p\pi)}{i^2+p^2}\]
\[\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2+p^2}=\frac{\coth(p\pi)\pi}{2p}-\frac{1}{2p^2}\]
\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i^2+p^2}=\frac{\coth(p\pi)\pi}{2p}-\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{p^2}=\frac{1+p\pi\coth(p\pi)}{2p^2}\]
只要令$p=\sqrt{m}$，就有：
\[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i^2+m}=\frac{1+\sqrt{m}\pi\coth(\sqrt{m}\pi)}{2m}\] |
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发表于 2013-12-20 20:59
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发表于 2013-12-21 00:32
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发表于 2013-12-21 21:42
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，我还以为要用定积分的分割法来做呢，结果是傅里叶展开式！
