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来自人教群昨晚幻幻问的趣题,损坏的计算器

学生-幻幻(6024*****) 2013-12-12 23:28:33
QQ图片20131213223716.jpg
2013-12-13 22:36

题目:一个损坏的计算器只有 $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ 这几个键可以工作,初始显示为 $0$。证明对任一正有理数 $q$,都可以揿有限多次键得出 $q$(假定计算器做实数计算无限精确,所有的函数都采用弧度制)。

这题真有趣,而且也有点难,昨晚一直没头绪,直到今天下午才找到方向。

下面我将证明更一般的结论:对任意 $q\in\mbb Q^+$,揿有限次键可以得出 $\sqrt q$。

实际上就是要证明 $\sqrt q$ 总能表示成 $P(0)$,其中 $P$ 由 $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ 这六种函数有限次复合而成。

证明之前先约定记号:

所有实数 $x$ 都可以表示成连分数
\[x=a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{\ddots}}},\]
其中 $a_0$ 为整数,其他 $a_i$ 均为正整数,我们将它简记为
\[x=[a_0;a_1,a_2,\ldots],\]
显然 $x$ 为有理数当且仅当 $a_i$ 有限个。

将 $f(x)$ 的 $n$ 次迭代记为 $f_n(x)$,对于 $n=0$,约定 $f_0(x)=x$。

证明:要得出 $1$,只要揿一下 $\cos$ 即得,下设 $q\ne1$。令
\begin{align*}
f(x)&=\sin (\arctan x)=\frac x{\sqrt{1+x^2}}, \\
g(x)&=\cos (\arctan x)=\sqrt{\frac1{1+x^2}}, \\
h(x)&=\tan (\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}x,
\end{align*}
由于
\[h(f(x))=\frac{\sqrt{1-\frac{x^2}{1+x^2}}}{\frac x{\sqrt{1+x^2}}}=\frac1x,\]
由此可见,只要解决 $0<q<1$ 的情形即可,对于 $q>1$ 的只要先揿出 $1/q$ 再通过 $h$, $f$ 即可倒过来。
当 $0<q<1$ 时可设 $q=[0;a_1,a_2,\ldots,a_m]$。

因为
\begin{align*}
f(g(x))&=\frac{\sqrt{\frac1{1+x^2}}}{\sqrt{1+\frac1{1+x^2}}}=\sqrt{\frac1{2+x^2}}, \\
f(f(g(x)))&=\frac{\sqrt{\frac1{2+x^2}}}{\sqrt{1+\frac1{2+x^2}}}=\sqrt{\frac1{3+x^2}}, \\
f(f(f(g(x))))&=\frac{\sqrt{\frac1{3+x^2}}}{\sqrt{1+\frac1{3+x^2}}}=\sqrt{\frac1{4+x^2}}, \\
\cdots&\cdots
\end{align*}
如此类推,记 $K(n,x)=f_{n-1}(g(x))$,则对任意 $n\in\mbb N^+$ 都有
\[K(n,x)=\sqrt{\frac1{n+x^2}},\]
于是
\begin{align*}
K(a_1,0)&=\sqrt{\frac1{a_1}}=\sqrt{[0;a_1]},\\
K(a_1,K(a_2,0))&=\sqrt{\frac1{a_1+\frac1{a_2}}}=\sqrt{[0;a_1,a_2]},\\
K(a_1,K(a_2,K(a_3,0)))&=\sqrt{\frac1{a_1+\frac1{a_2+\frac1{a_3}}}}=\sqrt{[0;a_1,a_2,a_3]},\\
\cdots&\cdots
\end{align*}
如此类推,最终得
\[K(a_1,K(a_2,K(\cdots K(a_m,0)\cdots )))=\sqrt{[0;a_1,a_2,\ldots,a_m]}=\sqrt q,\]
这样,结论就得到了证明。

例如:
想揿出 $\sqrt{1/3}$,则由 $\sqrt{1/3}=\sqrt{[0;3]}=K(3,0)=f(f(g(0)))$ 就可以得到揿键顺序了,如果再往外复合 $f$, $h$,即得 $\sqrt3=h(f(f(f(g(0)))))$;

想揿出 $0.6$,则由
\[0.6=\sqrt{\frac9{25}}=\sqrt{[0; 2, 1, 3, 2]}=K(2,K(1,K(3,K(2,0))))=f(g(g(f(f(g(f(g(0))))))))\]
即得揿键顺序。
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牛笔!快发表了吧!连分数的性质也搬来了!

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如果华罗庚再世的话,特招进北大算了!

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回复 2# 其妙

其实我也不太懂连分数,用到的是最基本的东东……

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用 Mathematica7 验证一下最后举的例子,输入:
f[x_] = Sin[ArcTan[x]];
g[x_] = Cos[ArcTan[x]];
h[x_] = Tan[ArcCos[x]];
f[f[g[0]]]
h[f[f[f[g[0]]]]]
f[g[g[f[f[g[f[g[0]]]]]]]]
输出
1/Sqrt[3]
Sqrt[3]
3/5
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看不懂

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普特南的题,其实和连分数没啥关系。。。就是函数复合和迭代,不过很难想。

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回复 7# icesheep
看一下标准答案呢?

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同问,最好有更详细的题目出处信息

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网上随便一搜就找到了。。
损坏的计算器.png
2013-12-15 12:31

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回复 10# Tesla35
没仔细看,觉得那个g(x)=……=x+1……不是太明显吧,

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回复 10# Tesla35

圆奶乳齿,看懂了,谢谢555

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回复 11# 其妙

没问题啊,上面写着 2x+1 个 F

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回复 13# kuing
眼睛真厉害!我只看见上面有数字64447444之类的数字,这些数字把2x+1覆盖了!

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回复 14# 其妙

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回复 15# Tesla35

这个解法还是不错的,能找到从 x 到 x+1 的按法,我当时也想找到它,不过没找到,后来就找到了连分数型的东西,于是就找到更一般的情形,而且通过表示成连分数就可以马上得出按键顺序法。
有空看看还能不能按出其他形式的数,感觉还能搞出不少东西来,因为有的键还没用到呢。

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回复 16# kuing


    lulululuulululululul

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回复 17# Tesla35

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