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[数论] 证明欧拉函数

本帖最后由 realnumber 于 2013-12-10 09:36 编辑

正整数$a=p_1^mp_2^np_3^l....$,($a$的标准分解式),那么小于$a$且与$a$互素的正整数个数为$φ(a)$个,$φ(a)=p_1^{m-1}(p_1-1)p_2^{n-1}(p_2-1)p_3^{l-1}(p_3-1)....$
46152375.jpg.450ttt.jpg
2013-12-10 09:34

谷歌涂鸦中,融入了莱昂哈德·欧拉的许多数学成就,如三角学、欧拉函数和欧拉方程等。
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler ,1707年4月15日~1783年9月18日)
又google涂鸦中,第三个字母O中图形指?
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《初等数论》教材

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回复 2# 其妙
晓得,只是想把自己探索过程写下,
以下,$p,q$为素数,$m,n,a,$为正整数.
1.先尝试了下$φ(p)=p-1$,这个简单.
2.再$φ(p^m)$
3.$φ(pq)$
4.$φ(p^mq^n)$
5.$φ(pa)$,其中$(p,a)=1$
6.$φ(p^ma)$,改为尝试$φ(pa)$,其中分$(p,a)=1$,与$(p,a)=p$.

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欧拉曾研究刚体定点转动,使用笛卡尔坐标系很不方便,为此引入了欧拉角。估计指的就是这个。

至于欧拉函数$\varphi(x)$,只需证明它是积性函数,再注意到素数与小于自己的正整数都互素,就能迅速得到上述一般公式。

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