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[几何] 证等角

如图:$ABCD$为平行四边形,$BE=DF$,$BF$交$DE$于$G$。求证$\angle BCG=\angle DCG$。
211.png
2013-12-10 02:17
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经典老题的节奏。。。

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回复 1# 乌贼

过$G$作$BC、CD$垂线,令垂线长度为$h_1,h_2$
于是只要证明$h_1=h_2$就好

即证明$\frac{S_{△BGC}}{S_{△CGD}}=\frac{BC}{CD}$
连$CF、CE$,易证$S_{△BFC}=S_{△CED}=\frac{1}{2}BC·CD·\sin∠BCD$
于是有
\[\frac{GF}{BG}=\frac{BF}{BG}-1=\frac{S_{△BGC}}{S_{△BFC}}-1=\frac{CD·\sin∠BCD}{h_1}-1\]
\[\frac{EG}{DG}=\frac{ED}{DG}-1=\frac{S_{△CGD}}{S_{△CED}}-1=\frac{BC·\sin∠BCD}{h_2}-1\]
梅涅劳斯定理可得
\[\frac{GF}{BG}=\frac{AE}{BE}·\frac{DF}{AD}=\frac{AE}{AD}=\frac{CD-BE}{BC}\]
\[\frac{CD·\sin∠BCD}{h_1}-1=\frac{CD-BE}{BC}\]
\[\frac{1}{h_1}=\frac{BC+CD-BE}{BC·CD·\sin∠BCD}\]
同理可得
\[\frac{1}{h_2}=\frac{BC+CD-BE}{BC·CD·\sin∠BCD}\]

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在人教中见过这题后来发现,这题是2003年澳大利亚的竞赛题。
后,向量证明(角分嘛,单位向量)时也研究过……


========================

作两垂直后,直接面积差,这是最简洁的。

具体可参考:http://kkkkuingggg.haotui.com/thread-1011-1-1.html

从第6楼开始。


人教也有几种 比例证明方法
http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2501016

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学习了

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本帖最后由 乌贼 于 2019-5-11 16:45 编辑

链接打不开了补充一下
212.png
2019-5-11 16:39

延长$ CB,DE $交于$ M $,作$ DN\px BF $交$ BC $于$ N $,有\[ BE\px CD\riff\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{MB}{MC}\\BG\px ND\riff \dfrac{MG}{MD}=\dfrac{MB}{MN} \]所以\[ \dfrac{\dfrac{MB}{MC}}{\dfrac{MB}{MN}}=\dfrac{\dfrac{ME}{MD}}{\dfrac{MG}{MD}}\riff\dfrac{MN}{MC}=\dfrac{ME}{MG}\riff NE\px CG \riff \angle BCG=\angle BNE \]又\[ BN=DF=BE\riff \angle BNE=\angle BEN=\dfrac{1}{2}\angle BCD \]故\[ \angle BCG=\dfrac{1}{2}\angle BCD \]

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回复 6# 乌贼
犯傻了
213.png
2021-8-30 01:34

\[ \triangle HGB\sim \triangle DGF\riff \dfrac{HG}{DG}=\dfrac{HB}{DF}=\dfrac{HB}{BE}=\dfrac{HC}{CD}\riff \angle HCG=\angle DCG \]

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