[数列] 来自人教群的“其他的数字加上他右边数字的2倍都等于1947”

学生-/zhq/zhq/zhq(9460*****) 22:22:41
15个正整数从左到右排成一排，除了最右边一个数字，其他的数字加上他右边数字的2倍都等于1947，这15个数字分别是多少

问题即求 15 项正整数数列 $\{a_i\}$ 满足 $a_i+2a_{i+1}=1947$，$i=1$, $2$, \ldots, $14$。

设 $a_1=c$，求通项易得
\[a_n=649-\left(-\frac12\right)^{n-1}(649-c),\]
显然 $c=649$ 能使 $a_n\equiv 649$ 满足条件；
而若 $c\ne649$，则由 $a_{15}$ 为整数知应有 $2^{14}\mid(649-c)$，因此必有
\[\abs{649-c}\geqslant 2^{14}\riff c\geqslant 2^{14}+649,\]
此时
\[a_2=649+\frac12(649-c)\leqslant 649+\frac12\bigl(649-(2^{14}+649)\bigl)=-7543<0,\]
可见 $c\ne649$ 必然不满足条件，所以满足条件的唯一解为 $a_n\equiv 649$。

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