[几何] 可以作一个三角形，它的边平行并且等于已知三角形的中线

求证：可以作一个三角形，它的边平行并且等于已知三角形的中线。

如图，即证$AE,BF,CD$可构成三角形，追问，若$\triangle ABC$的面积为1，则此三角形的面积为多少？

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kuing

2^#

发表于 2013-8-22 21:42 | 只看该作者

构成的三角形的中线跟原三角形的三边也有关系。
这个问题的结论就是三角形几何不等式里的“中线对偶定理”的依据了……

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kuing

3^#

发表于 2013-8-22 21:45 | 只看该作者

翻了一下，见 http://www.aoshoo.com/bbs1/dispb ... p;page=0&star=2 的13楼

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地狱的死灵

4^#

发表于 2013-8-23 00:24 | 只看该作者

本帖最后由地狱的死灵于 2013-8-23 13:00 编辑

面积也用向量积玩一下（以下运算都是向量）：
4AE×BF
=(2AE)×(2BF)
=(AB+AC)×(BC+BA)
=AB×BC+AC×BC+AB×BA+AC×BA
=3AB×BC
即中线三角形面积是原三角形面积的3/4。

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isee

5^#

发表于 2013-8-23 14:32 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2013-8-23 14:36 编辑

把图直接帖来：

楼上理应加绝对值就，完美了，若直接用LaTeX代码就更美的，向量即"$\$\vv {AB}\$$"(打引号部分，发帖后即$\vv {AB}$）。

同样的，而，三中线构成三角形，用向量看，是显然的：

$2(\vv{AE}+\vv {BF}+ \vv {CD})=\vv {AB}+\vv{AC}+\vv{BA}+\vv{BC}+\vv{CA}+\vv{CB}=\vv 0$

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