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发表于 2013-8-13 23:40 | 只看该作者

[函数] 来自人教群的一道三次曲线零点切线的美妙结论

依题意设 $f(x)=a(x-p)(x-q)(x-r)$，其中 $p<q<r$，则
\[f'(x)=a\bigl((x-p)(x-q)+(x-q)(x-r)+(x-r)(x-p)\bigr),\]
设自 $(p,0)$ 引 $f(x)$ 的切线与 $f(x)$ 相切于 $(s,f(s))$ 且 $s\ne p$，则该切线方程为
\[y=a\bigl((s-p)(s-q)+(s-q)(s-r)+(s-r)(s-p)\bigr)(x-s)+a(s-p)(s-q)(s-r),\]
因为切线过 $(p,0)$，故
\[0=a\bigl((s-p)(s-q)+(s-q)(s-r)+(s-r)(s-p)\bigr)(p-s)+a(s-p)(s-q)(s-r),\]
化简即得
\[0=(s-q)+(s-r).\]

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isee

2^#

发表于 2013-8-14 18:11 | 只看该作者

还有这事儿

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kuing

3^#

发表于 2013-8-14 21:34 | 只看该作者

回复 2# isee

嗯，所以我佩服发现者，虽然证明不费吹灰之力。

PS、可惜这结论只在三次函数成立，不能推广到更高次，四次就不行。

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shidilin

4^#

发表于 2013-8-15 22:55 | 只看该作者

貌似二次，三次函数的对称性，也不能很优美地推广。

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其妙

5^#

发表于 2013-8-17 13:29 | 只看该作者

回复 isee

嗯，所以我佩服发现者，虽然证明不费吹灰之力。

PS、可惜这结论只在三次函数成立，不能推广 ...
kuing 发表于 2013-8-14 21:34

要不然kk又可以搞一个推广了

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kuing

6^#

发表于 2013-8-17 14:52 | 只看该作者

虽然不能推广，但最后得到的方程还是蛮好看的。

设
\[f(x)=a\prod_{i=1}^n(x-x_i),\]
其中 $a\ne0$, $n\geqslant3$, $x_1<x_2<\cdots<x_n$，求导得
\[f'(x)=a\prod_{i=1}^n(x-x_i)\sum_{i=1}^n\frac1{x-x_i},\]
（注：这里虽然出现了分式，但只是为了形式上好表示，实际上都是多项式，所以这里不必考虑分母是否为零的情况）
设自 $(x_1,0)$ 引 $f(x)$ 的切线与 $f(x)$ 相切于 $(x_*,f(x_*))$ 且 $x_*\ne x_1$，则该切线方程为
\[y=a\prod_{i=1}^n(x_*-x_i)\sum_{i=1}^n\frac1{x_*-x_i}\cdot (x-x_*)+a\prod_{i=1}^n(x_*-x_i),\]
因为切线过 $(x_1,0)$，故
\begin{align*}
0&=a\prod_{i=1}^n(x_*-x_i)\sum_{i=1}^n\frac1{x_*-x_i}\cdot (x_1-x_*)+a\prod_{i=1}^n(x_*-x_i) \\
& =a\prod_{i=1}^n(x_*-x_i)\left( \sum_{i=2}^n\frac1{x_*-x_i}\cdot (x_1-x_*)-1 \right)+a\prod_{i=1}^n(x_*-x_i) \\
& =a(x_1-x_*)^2\prod_{i=2}^n(x_*-x_i)\sum_{i=2}^n\frac1{x_*-x_i},
\end{align*}
即得
\[\prod_{i=2}^n(x_*-x_i)\sum_{i=2}^n\frac1{x_*-x_i}=0.\]

当 $n=3$，上式为 $(x_*-x_2)+(x_*-x_3)=0$，得到中点的结论；
当 $n=4$，上式为 $(x_*-x_2)(x_*-x_3)+(x_*-x_3)(x_*-x_4)+(x_*-x_4)(x_*-x_2)=0$；
当 $n=5$，上式为 $(x_*-x_2)(x_*-x_3)(x_*-x_4)+(x_*-x_3)(x_*-x_4)(x_*-x_5)+(x_*-x_4)(x_*-x_5)(x_*-x_2)+(x_*-x_5)(x_*-x_2)(x_*-x_3)=0$；
……

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其妙

7^#

发表于 2013-8-19 16:46 | 只看该作者

回复 6# kuing
这个结论还算比较优美

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aipotuo

8^#

发表于 2013-9-26 13:26 | 只看该作者

有成为自招题的潜质.

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青青子衿

9^#

发表于 2013-9-27 19:48 | 只看该作者

奇妙的三点共线！奇妙之处不言而喻！
搜狗截图_2013-09-19_18-00-04.jpg

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青青子衿

10^#

发表于 2014-1-24 16:48 | 只看该作者

回复 9# 青青子衿

奇妙的三点共线！奇妙之处不言而喻！
青青子衿发表于 2013-9-27 19:48

三次函数图像上任取两点$A、B$，两点投影到$x$轴上的中点所对的三次函数图像上点的切线交图像于$C$点，$A、B、C$三点共线

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kuing

11^#

发表于 2014-1-24 17:07 | 只看该作者

回复 10# 青青子衿

这跟1#的结论在本质上相同。

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第一章

12^#

发表于 2015-7-25 18:00 | 只看该作者

贴一段群聊记录
【LV6】江苏无锡王举(*********)  16:58:08
已知三次函数y=f(x)与直线y=a依次交与A，B，C三个交点，过A作三次的切线，切点为D(不同于A)，则D点横坐标=B点横+C点横！！这个性质怎么证明
【LV5】吉林敦化齐一琳(9*********)  16:59:01
王老师编的题吧
【LV6】江苏无锡王举(*********)  17:00:16
不是题额，三次函数的一个性质
【LV4】广东中山邓龙(*********)  17:09:55
先把三次函数的对称中心移到原点，计算更简单
【LV6】江苏无锡王举(*********)  17:11:41
@广东中山邓龙秒懂，多谢邓老师

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青青子衿

13^#

发表于 2022-5-11 23:00 | 只看该作者

齐共线性定理
Collinearities
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=8807

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[函数] 来自人教群的一道三次曲线零点切线的美妙结论

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