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转载一篇东东《关于中点凸函数和连续函数的关系》

原文链接:http://www.liuxiaochuan.org/2012/09/midpointconvex.htm

原标题:关于中点凸函数和连续函数的关系

在数学分析的学习中,韩吴同学注意到这样一个问题:
能否构造一个开区间 `(0,1)` 上的不连续的函数 `f(x)`,使得满足
\[f\left(\frac{x+y}2\right)\leqslant\frac{f(x)}2+\frac{f(y)}2.\]

由于定义于某个开区间比如 `(0,1)` 上的凸函数一定是连续函数,而将凸函数的性质弱化一点就变成了上述的这个所谓的“中点凸”性质。要看出这个性质确实是比凸函数更弱的性质,是需要构造反例来证明的。

但是,居然有下面这个有趣的定理,属于 Sierpinski:
定理:如果一个开区间 `(0,1)` 上定义的函数满足“中点凸”性质,并且该函数还是 Lebesgue 可测的,那么这个函数就是凸函数,也因此是连续函数。

事实上,我们甚至还有更强大的定理:
定理(Ostrowski):如果一个“中点凸”函数在某个正测度的 Lebesgue 可测集合上是有界的,那么这个函数就是凸函数。

因此,为了构造反例,我们要从经典的 Vitali 不可测集合出发,逐步构造出一个不可测函数,满足题目要求的性质。这里的知识需要了解“实变函数”课程,具体的,是 Lebesgue 积分和测度理论。为此,首先考察所有 `(0,1)` 区间的有理数,并把它们写成既约的分数形式,然后在这些有理数上定义函数 `f(q/p)=-p`,这是我们最终要定义函数的出发点。

现在对于任何两个数 `x`, `y\in(0,1)`,定义 Vitali 等价关系如下:`x\sim y` 当且仅当 `x-y` 是有理数。

给定任意两个非有理数的等价类,并取定任意的两个代表元 `x`, `y`,注意到 `(x+y)/2` 一定不属于前面三个等价类的任何一个。下面取定这个数 `z=(x+y)/2` 为相应的等价类的代表元。依照此方法,我们也可以定义 `w=2x-y` 为一个新的等价类的代表元。最后,定义集合 `B(x,y)` 为一个由 `x`, `y` 生成的最小的对下面两种运算封闭的集合:
\begin{align*}
x,y&\mapsto\frac{x+y}2,\\
x,y&\mapsto 2x-y,
\end{align*}
由集合 `B_0=\{x,y\}` 出发,定义 `B_1=\{x,y,z,w_1,w_2\}`,其中 `z=(x+y)/2`, `w_1=2x-y`, `w_2=2y-x`(注意如果 `w_i\notin(0,1)`,则把它去掉不加以考虑),然后再定义 `E_2` 为从 `E_1` 出发,通过两种运算所能得到所有数的有限集合。注意这样得到的每个 `E_i` 不同等价类的代表元的集合。最后,`B^1=\cup_iB_i` 就是由 `x`, `y` 生成的最小的对上述两种运算封闭的集合。

称这样的一个由无理数代表元构成的集合 `B^1` 为“基本集合”,由上述的构造我们看到,这样的集合是一个可数集合。于是,由于等价类一共有不可数个,我们还可以寻找这个集合所代表的等价类以外的新的等价类,至少两个,并从中任意选取两个代表元 `x'`, `y'`。

由这样的两个代表元又可以生产新的“基本集合”`B'`,我们令 `B^2=B^1\cup B'`。因此,我们可以依次定义 `B^1,\ldots,B^i,\ldots`,满足 `B^i\subset B^{i+1}`,并且每一个集合都对两种运算封闭。这时,再考察 `B^\omega=\cup_iB^i`,显然这个集合也对两种运算封闭,并且它全部由无理数的等价类代表元构成。因此,我们启用超限归纳法,得到,任何通过这样方式得到的集合都同时满足:1. 对两种运算封闭;2. 全部由无理数的等价类代表元构成。

最后,按照包含关系,我们可以在这样的集合构成的集合上定义一个序,然后根据 Zorn 引理,得到一个极大元 `I`,这个极大元显然包括所有的无理数等价类的某个代表元,并且对上述两个运算封闭。

首先定义对任何上述代表元 `x_*\in I`,函数 `f(x_*)=0`,对给定 `(0,1)` 中的一个元素 `x`,一定存在一个既约有理数 `q/p` 和某个 `I` 中元素 `x_*`,使得 `x-q/p=x_*`,然后定义 `f(x)=-p`。

让我们来验证这函数是满足“中点凸”性质的。

事实上,对于 `x`, `y\in(0,1)`,设 `x=x_*+r/p`, `y=y_*+s/q`,我们有
\[f\left(\frac{x+y}2\right)=f\left(\frac{x_*+y_*}2+\frac{rq+ps}{2pq}\right)=-2pq,\]

\[\frac{f(x)}2+\frac{f(y)}2=-\frac12(p+q)\geqslant f\left(\frac{x+y}2\right).\]
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口号:珍爱生命,远离考试。

《凸分析》(史树中)P72:
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话说,突然发现,只要用柯西方程就可以很容易构造出来了。

设 $K(x)$ 为任意一个柯西方程的非连续解,令 $f(x)=\cosh\bigl(K(x)\bigr)$,则
\begin{align*}
f(x)+f(y)&=\cosh\bigl(K(x)\bigr)+\cosh\bigl(K(y)\bigr)\\
&=2\cosh\frac{K(x)+K(y)}2\cosh\frac{K(x)-K(y)}2\\
&\geqslant2\cosh\frac{K(x)+K(y)}2\\
&=2\cosh\left(K\left(\frac{x+y}2\right)\right)\\
&=2f\left(\frac{x+y}2\right).
\end{align*}
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不过柯西方程的非连续解的构造其实也跟上面的差不多,所以其实楼上干的还是有点多余的感觉……
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回复 5# 其妙

怎么,颠覆了你的哪个观?
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回复 6# kuing
看不懂

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回复 7# 其妙

1#具体的构造我也看不懂……
不过至少能知道原文作者想表达啥吧……
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1.GIF
2013-10-3 13:37

2.GIF
2013-10-3 13:37
Let's solution say the method!

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回复 9# pxchg1200


    为什么有界的中点凸就意味着连续呢?

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回复 10# icesheep


冰羊也来了

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回复  icesheep


冰羊也来了
Tesla35 发表于 2013-10-21 10:51

冰洋是谁?大羊?
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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回复 12# 其妙


    冰羊就是冰羊啦。在贴吧里常见。PLU_icesheep

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这个帖子我居然回复过。是个好贴。

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