免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[数列] $a_{n+1}=a_n^2-2na_n+1$证$\sum\frac1{a_k-2}<2/3$

数列{$a_n$}满足$a_1=4,a_{n+1}=a_n^2-2na_n+1$,求证:$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{a_k-2}<\dfrac{2}{3}$
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

$a_2=9$, $a_3=46$,用数归易证当 $n\ge3$ 时 $a_n\ge2\cdot22^{n-2}+2$,于是
\[\sum_{k=1}^n\frac1{a_k-2}<\frac12+\frac17+\sum_{k=3}^{\infty}\frac1{2\cdot22^{k-2}}=\frac23.\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

回复 10# kuing

22的幂,这都能。。。。。。。

TOP

666

TOP

回复  kuing

22的幂,这都能。。。。。。。
isee 发表于 2017-8-25 19:30

这 $22$ 不是随便取的,而是通过计算算出来的,看你在另一帖里还在问怎么得到这种放缩,看来还是有必要普及一下等比放缩的基本方法(我估计市面上应该有不少相关文章,不过懒得找了,反正闲着无聊)。

一般来说,设待证不等式为 $\sum_{k=1}^n f(k)<C$,我们尝试从第 $m$ 项起放缩成等比,即假设 $f(k)\leqslant p\cdot q^{k-m}$($k\geqslant m$),为了最大限度地找到合适的值,一般让开头取等且求和后正好得证,即 $f(m)=p$ 且 $f(1)+\cdots+f(m-1)+p(1+q+q^2+\cdots+q^{\infty})=C$,解得
\[q=1-\frac{f(m)}{C-f(1)-\cdots-f(m-1)},\]
然后取 $m=1$, $2$, \ldots 试验之(即考查 $f(k)\leqslant f(m)\cdot q^{k-m}$ 是否确实对 $k>m$ 恒成立)。

上面我的解法中,当试到 $m=3$ 就发现成立了,此时
\[q=1-\frac{\frac1{46-2}}{\frac23-\frac1{4-2}-\frac1{9-2}}=\frac1{22},\]
这个 $22$ 就是这样来的。

不等式越强,需要取的 $m$ 往往越大,甚至可能不存在这样的 $m$,总之,这属于试探性方法,不是包搞定的。

TOP

回复 13# 色k

注:这样的计算方式的虽然最安全,但数据有时可能会很难看,这时可以考虑适当放松一点,放弃首项或求和后的取等来找到相近的更简洁的值,这样说不准能既简化过程,还能得到更强式,总之一句话:自已执生

TOP

回复 13# 色k


    总之缩放成等比数列

TOP

如果要第5项开始才能放缩,这样谁还想着去算?早放弃了。
如果是考试,应该杜绝这种方法的题目,思维量不怎样,但能整死人。

TOP

返回列表 回复 发帖