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[函数] 三角函数与复数的杂糅,谢谢帮助

应该有什么方法和诀窍吧?
因为,我觉得逐项彻底展开,行不大通,我反正行不通!


然后,我想着,运用几何方法,怎奈这个类型的,以前木有碰到过
截图05.jpg
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我怀疑题目打错了什么东西

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呵呵,台湾过来的,我估计没错~~~



形式简洁优美,应该是很有味道的题目,可能还很有深度
题目很短,估计出错的概率小

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那我就等答案好了,反正我只会化到酱紫:
\[8+2\cos\frac\pi7+5\cos\frac{3\pi}7+\left( -6\sin\frac\pi7-4\sin\frac{2\pi}7+3\sin\frac{3\pi}7 \right)i\]

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我猜,应该有什么方法,应该有漂亮的方法!


如果有几何图形法,
那么,不近似为不仅思维漂亮,视觉也很美丽这道数学题木

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依我推测,题目很有可能是想求那个式子的模长,因为模长有比较简单的计算方法如下。
\(\newcommand\bbar\overline\)

由于 $\abs z^2=z\cdot\bbar z$,且 $\bbar\omega=\omega^6$, $\bbar{\omega^3}=\omega^4$, $\bbar{\omega^5}=\omega^2$,故此
\[\abs{(2-\omega)(2-\omega^3)(2-\omega^5)}^2
=(2-\omega)(2-\omega^2)\cdots (2-\omega^6),\]
注意 $x^7=1$ 的七个根为 $1$, $\omega$, $\omega^2$, \ldots, $\omega^6$,故
\[x^7-1=(x-1)(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots (x-\omega^6),\]
代入 $x=2$ 即得
\[(2-\omega)(2-\omega^2)\cdots (2-\omega^6)=2^7-1,\]
从而
\[\abs{(2-\omega)(2-\omega^3)(2-\omega^5)}=\sqrt{127}.\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 6# kuing
非常感谢!非常感谢!


那是不是说,针对原题,最后答案有两个?一正一负?

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求模长?
求模长,步骤不是很多~~可能,这道题目,很有深度也不定!


很可惜,类似题目,看都木有看到过~~而题目形式,颇为优美,想把它彻底搞出来而无法

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那是不是说,针对原题,最后答案有两个?一正一负?
dodonaomik 发表于 2016-4-30 09:51

当然不是,模长和绝对值你都弄不清?

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回复 9# kuing

呵呵,我一时犯糊涂啦~~·
我懂模长!

就是,实部平方+虚部平方,之和,开根号~~


________________
数学很长时间没有接触啦,有些东西,有点淡化遗忘啦

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本帖最后由 色k 于 2016-4-30 15:43 编辑

闲来无事,写个一般式吧。

一般地,设 $n\inN^+$,令
\[\omega=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n,\]
有恒等式
\begin{align*}
x^n-1&=(x-1)(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots (x-\omega^{n-1}),\\
1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}&=(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots (x-\omega^{n-1}),
\end{align*}
故此
\[(m-\omega)(m-\omega^2)\cdots (m-\omega^{n-1})
=\led
&\frac{m^n-1}{m-1},&& m\ne1,\\
&n,&& m=1.
\endled\]

那么,当 $n=2k+1$, $k\inN$, $m\inR$ 时,则
\begin{align*}
\abs{(m-\omega)(m-\omega^3)(m-\omega^5)\cdots(m-\omega^{2k-1})}
&=\sqrt{(m-\omega)(m-\omega^2)(m-\omega^3)\cdots (m-\omega^{2k})}\\
&=\led
&\sqrt{\frac{m^{2k+1}-1}{m-1}},&& m\ne1,\\
&\sqrt{2k+1},&& m=1.
\endled
\end{align*}
这名字我喜欢

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本帖最后由 色k 于 2016-4-30 17:24 编辑

$m=1$ 时还能搞出一个三角恒等式,由上述结论有
\[(1-\omega)(1-\omega^2)\cdots (1-\omega^{n-1})=n,\]
取模即
\[\abs{1-\omega}\cdot\abs{1-\omega^2}\cdots \abs{1-\omega^{n-1}}=n,\]
而当 $0\leqslant k\leqslant n$ 时
\[\abs{1-\omega^k}=\sqrt{\left( 1-\cos\frac{2k\pi}n \right)^2+\sin^2\frac{2k\pi}n}
=\sqrt{2-2\cos\frac{2k\pi}n}=2\sin\frac{k\pi}n,\]
所以
\[2^{n-1}\sin\frac\pi n\sin\frac{2\pi}n\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}n=n.\]
这名字我喜欢

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回复 12# 色k

那么,从11楼来看的话,
只能算出其模长啦?

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я
昨晚,公园草地上,去趟了一会儿,
冷噤思索,
还是找不到思路

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回复 11# 色k

@kuing:请教一个问题:
\begin{align*}
x^n-1&=(x-1)(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots (x-\omega^{n-1}),\\
1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}&=(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots (x-\omega^{n-1}),
\end{align*}
第2个等式是在第1个恒等式上推出来的呢?还是其本身就是一个恒等式?

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回复 15# lemondian

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本帖最后由 走走看看 于 2022-5-10 19:11 编辑

回复 15# lemondian

第二个式子,不就是根据等比数列求和公式然后再把第一个式子代入得到的吗?

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本帖最后由 lemondian 于 2022-5-10 21:45 编辑

回复 17# 走走看看
不知是不是象你写的这样?
还是如下面的?
在复数范围,有
\begin{align*}
x^n-1&=(x-1)(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots (x-\omega^{n-1}),\\
在实数范围,有x^n-1=(x-1)(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1})
\end{align*}
\begin{align*}
那么,是不是得到下面呢?
1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}&=(x-\omega)(x-\omega^2)\cdots (x-\omega^{n-1}),
\end{align*}

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本帖最后由 走走看看 于 2022-5-10 23:17 编辑

回复 18# lemondian

你的倒数第一个和第三个是复数范围内。
你的倒数第二个是实数范围内。   

含ω的为复数范围内。$1、ω、ω^2…ω^{n-1}$是$x^n=1$的n个复数解。

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