[组合] 昨天广州一模理数13扯一扯

【注】本贴的内容如无意外是重复前人的结果，写上来只是纯粹自娱自乐，或抛砖引玉。

话说昨天在某教师群看到广州一模理数的第13题为

当时我在群里写了一个没有用到题目提示的方法。

广州kuing/kun(249533164) 17:11:44
话说，这样解会不会好玩点：

2015-3-20 16:18

刚才回想起来，想到不知能不能推广到更高次，即：
设 $k$, $n$ 为正整数，记 $S_k=C_n^1+2^kC_n^2+3^kC_n^3+\cdots +n^kC_n^n$，化简 $S_k$。

沿用上面的方法，显然需要求更高阶的导数，设
\begin{align*}
f(x)&=(1+x)^n\\
&=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+\cdots +C_n^nx^n, \\
f'(x)&=n(1+x)^{n-1}\\
&=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+\cdots +nC_n^nx^{n-1}, \\
f''(x)&=n(n-1)(1+x)^{n-2}\\
&=2C_n^2+2\cdot 3C_n^3x+3\cdot 4C_n^4x^2+\cdots +(n-1)nC_n^nx^{n-2}, \\
f'''(x)&=n(n-1)(n-2)(1+x)^{n-2}\\
&=2\cdot 3C_n^3+2\cdot 3\cdot 4C_n^4x+3\cdot 4\cdot 5C_n^4x^2+\cdots +(n-2)(n-1)nC_n^nx^{n-3}, \\
\cdots&\cdots
\end{align*}
要像上面那样通过线性组合产生 $n^k$，系数是关键。

现在，假设 $n^k$ 能表示成
\begin{align*}
n^k={}&a_1n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)+a_2n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+2) \\
& +a_3n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+3)+\cdots +a_{k-1}n(n-1)+a_kn,
\end{align*}
那么将 $n^{k+1}$ 表示成类似式子时，它的系数如何呢？
\begin{align*}
n^{k+1}={}& a_1\bigl((n-k)+k\bigr)n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1) \\
& +a_2\bigl((n-k+1)+(k-1)\bigr)n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+2) \\
& +a_3\bigl((n-k+2)+(k-2)\bigr)n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+3) \\
& +\cdots +a_{k-1}\bigl((n-2)+2\bigr)n(n-1)+a_k\bigl((n-1)+1\bigr)n \\
={}& a_1n(n-1)(n-2)\cdots (n-k)+(ka_1+a_2)n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1) \\
& +\bigl((k-1)a_2+a_3\bigr)n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+2) \\
& +\cdots +(2a_{k-1}+a_k)n(n-1)+a_kn,
\end{align*}
于是我们得到，如果 $n^k$ 的表达式的系数列为 $\{a_1,a_2,a_3,\ldots ,a_{k-1},a_k\}$，那么 $n^k$ 的系数列就是 $\{a_1,ka_1+a_2,(k-1)a_2+a_3,\ldots ,3a_{k-2}+a_{k-1},2a_{k-1}+a_k,a_k\}$，这样就可以由低次向高次逐一写出系数。

$n^2=n(n-1)+n$，系数列 $\{1,1\}$。

则 $n^3$ 的系数列为 $\{1,2\times 1+1,1\}$，即 $\{1,3,1\}$，所以
\[n^3=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n;\]

则 $n^4$ 的系数列为 $\{1,3\times 1+3,2\times 3+1,1\}$，即 $\{1,6,7,1\}$，所以
\[n^4=n(n-1)(n-2)(n-3)+6n(n-1)(n-2)+7n(n-1)+n;\]

则 $n^5$ 的系数列为 $\{1,4\times 1+6,3\times 6+7,2\times 7+1,1\}$，即 $\{1,10,25,15,1\}$，所以
\[n^5=n(n-1)\cdots(n-4)+10n(n-1)\cdots(n-3)+25n(n-1)(n-2)+15n(n-1)+n;\]

……

那么，根据求导的式子，设 $S_k(x)=C_n^1+2^kC_n^2x+3^kC_n^3x^2+\cdots +n^kC_n^nx^{n-1}$，则
\begin{align*}
S_2(x)&=f'(x)+xf''(x), \\
S_3(x)&=f'(x)+3xf''(x)+x^2f'''(x), \\
S_4(x)&=f'(x)+6xf''(x)+7x^2f'''(x)+x^3f^{(4)}(x), \\
S_5(x)&=f'(x)+10xf''(x)+25x^2f'''(x)+15x^3f^{(4)}(x)+x^4f^{(5)}(x), \\
\cdots&\cdots
\end{align*}
所以
\begin{align*}
S_2&=f'(1)+f''(1),\\
S_3&=f'(1)+3f''(1)+f'''(1), \\
S_4&=f'(1)+6f''(1)+7f'''(1)+f^{(4)}(1), \\
S_5&=f'(1)+10f''(1)+25f'''(1)+15f^{(4)}(1)+f^{(5)}(1), \\
\cdots&\cdots
\end{align*}
而 $f^{(m)}(1)=n(n-1)\cdots(n-m+1)2^{n-m+1}$，代入后化简即得结果。