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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一道解析几何,求几何解释!
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福州小江
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发表于 2013-9-8 22:49
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[几何]
一道解析几何,求几何解释!
2013-9-8 22:48
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福州小江
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发表于 2013-9-8 22:50
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第二问!!!!!!!!!!
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发表于 2013-9-8 23:28
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先上下拉伸成圆,显然不改变三者长度,如图所示。
2013-9-8 23:26
依题意可知此时 $ABCD$ 为正方形,其边长为 $a$,则由相似比例易得
\begin{align*}
\frac{EF}{DC}&=\frac{PG}{PH}\iff EF=\frac{a\cdot PG}{PH}, \\
\frac{EA}{HD}&=\frac{AD}{PH}\iff EA=\frac{a\cdot GA}{PH}, \\
\frac{FB}{HC}&=\frac{BC}{PH}\iff FB=\frac{a\cdot GB}{PH},
\end{align*}
故
\[EF^2=EA\cdot FB\iff PG^2=GA\cdot GB,\]
显然成立,得证。
PS、少点感叹号。
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睡神
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发表于 2013-9-8 23:31
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福州小江
波兄?
睡自己的觉,让别人说去!!!
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发表于 2013-9-8 23:32
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犀利!!!!!!
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Tesla35
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发表于 2013-9-8 23:35
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福州小江
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发表于 2013-9-8 23:38
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只看该作者
一道江苏模拟卷上的题目
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发表于 2013-9-8 23:39
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不拉伸显然也可以,最终等价为 $PA$ 与 $PB$ 斜率之积的结论。
拉伸只是为了方便用纯初中几何做。
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福州小江
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发表于 2013-9-8 23:57
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睡神
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发表于 2015-12-5 02:03
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只看该作者
刚才QQ空间看到一类似题:
2015-12-5 02:03
用类似上述证法应该可行,大家可以试下。
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abababa
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发表于 2015-12-5 08:31
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kuing
以前在人教论坛初中版见过yes94出的一样的题,maven解答过,他是把$AB$从$P$点投影到$CD$上,就是$PA,PB$这两条射线分别交$CD$于$A',B'$
要证的也就是$A'C^2+B'D^2=A'B'^2$,就是要证$(A'D+AB)^2+(B'C+AB)^2=(A'D+B'C+AB)^2$
最后只要证$AB^2=2A'D\cdot B'C$
$A'D=BC\cot\angle PAB,B'C=BC\cot\angle PBA$,所以$2A'D\cdot B'C=2BC^2=AB^2$
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kuing
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发表于 2015-12-5 13:28
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abababa
不错,这个挺简洁
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其妙
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发表于 2015-12-5 22:36
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abababa
abababa记得这么清楚?
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abababa
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发表于 2015-12-5 22:54
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其妙
对几何感兴趣,收藏了很多几何帖子来看,就是下面这题,不过看不到maven的解答了
http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... amp;extra=page%3D20
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其妙
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发表于 2015-12-5 23:25
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abababa
他居然把解答的帖子删除了
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kuing
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发表于 2015-12-5 23:28
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其妙
是的,很早就发现他自删了很多回帖
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敬畏数学
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发表于 2015-12-7 14:52
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此题纯粹解析法也很简单。基本的运算还是需要的吗。呵呵。。。
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