∫cos2x·sec3x dx=?

本帖最后由 hbghlyj 于 2022-1-12 22:38 编辑

方法1.使用欧拉公式,$\cos2x\sec3x=\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{e^{3ix}+e^{-3ix}}$.作代换$u=e^{-ix},\mathrm dx=iu\mathrm du$.
$\int\frac{u^2+u^{-2}}{u^3+u^{-3}}u^{-1}~\mathrm du=\int\frac{u^4+1}{u^6+1}~\mathrm du=\frac23\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}+\frac13\int\frac{u^2+1}{u^4-u^2+1}\mathrm du=\frac23\arctan u+\frac13\arctan\frac u{1-u^2}+C$.
所以$\int\cos2x\sec3x~\mathrm dx=\frac{2i}3\arctan e^{-ix}+\frac i3\arctan\frac{e^{-ix}}{1-e^{-2ix}}+C$.

方法2. Mathematica

不用解释了...见3楼

WolframAlpha["Integrate[Cos[2x]Sec[3x],x]", "PodCells",
PodStates -> {"IndefiniteIntegral__Step-by-step solution"}][[2]]

复制代码

hbghlyj

2^#

发表于 2022-1-12 22:16 | 只看该作者

将WolframAlpha画的图象导出为svg

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hbghlyj

3^#

发表于 2022-1-12 22:23 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2022-1-13 01:53 编辑

把Times进行Unprotect然后Remove,然后FullForm,然后进行一批替换,导出为MathML,结果是准确的:见https://cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=236(因为导出的MathML代码太长了,超过了这里的帖子长度限制,所以只好放到我的论坛上了

)(如果不把内置函数Times移除的话Mathematica会交换乘积的顺序然后出现sin x变成x sin这种事情)

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kuing

4^#

发表于 2022-1-12 22:30 | 只看该作者

所以这帖我应该移到“高数区”还是“软件区”？emmm...

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hbghlyj

5^#

发表于 2022-1-12 22:34 | 只看该作者

回复 4# kuing
其实这帖真正目的是如何从Mathematica单元格导出正确的TeX

sin x变成x sin也是服了

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kuing

6^#

发表于 2022-1-13 15:05 | 只看该作者

回复 3# hbghlyj

进不去你的论坛？显示 This Account has been suspended.

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hbghlyj

7^#

发表于 2022-1-13 15:59 | 只看该作者

回复 6# kuing
出了一些问题...大概需要一天时间才能修好...

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kuing

8^#

发表于 2022-1-13 16:37 | 只看该作者

\begin{align*}
\int\frac{\cos2x}{\cos3x}\rmd x
&=\int\frac{\cos2x}{\cos3x\cos x}\rmd\sin x\\
&=\int\frac{\cos2x}{(-3+4\cos^2x)\cos^2x}\rmd\sin x\\
&=\int\frac{1-2t^2}{(1-4t^2)(1-t^2)}\rmd t\\
&=\frac16\int\left( \frac2{1-2t}+\frac2{1+2t}+\frac1{1+t}+\frac1{1-t} \right)\rmd t\\
&=\frac16\ln\left| \frac{(1+2t)(1+t)}{(1-2t)(1-t)} \right|+C\\
&=\frac16\ln\left| \frac{(1+2\sin x)(1+\sin x)}{(1-2\sin x)(1-\sin x)} \right|+C.
\end{align*}

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hbghlyj