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和积分有关的零点个数证明

本帖最后由 IkeJay 于 2021-12-6 13:15 编辑

证明:若f在[a,b]上连续,且$\int_{a}^{b}f(x)dx$=$\int_a^bf(x)xdx$=·······= $\int_a^bf(x)x^n dx$=0,则f在(a,b)上至少存在n+1个零点.
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回复 1# IkeJay

$f(x)=x$在$[-1/2,1]$上连续,并且当$n=1$时满足
\[\int_{-1/2}^{1}f(x)dx=\int_{-1/2}^{1}f(x) \cdot x^1dx=\frac{3}{8}\]
但是$f(x)$在$(-1/2,1)$上没有$n+1=2$个零点。题目是不是有问题?

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回复 2# abababa
不好意思哈哈,我修改下题目,还要等于0

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回复 3# IkeJay

那你看看是不是这个证明,这是以前maven网友证明的,他还要求$a\neq b$。
11.gif
2021-12-6 14:27

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