本帖最后由 hbghlyj 于 2021-11-26 05:15 编辑
将参数式为 $(\cos t,\sin t,t)$ 的螺旋线投影到平面 $z=kx$ 上,使投影曲线有两个"环"相切,求这个平面.
把投影曲线关于$y$轴旋转到$y$-$z$平面上去:- RotationTransform[ArcTan[k], {0, 1, 0}][
- ComplexExpand[{Cos[t], Sin[t], t} -
- Projection[{Cos[t], Sin[t], t}, {1, 0, k}]]]
(在线编译1|在线编译2)
[tikz]\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[trig format plots=rad,axis equal,hide axis]
\foreach \k in {4.598,7.78,10.93,14.12}
\addplot [blue,smooth,samples=100,domain=-31.4:31.4] ({\k+sin(\x)},{(\x-\k*cos(\x))/sqrt(1+\k^2)});
\end{axis}
\end{tikzpicture}[/tikz]
↑相邻的环相切,
相隔着1个环相切,
相隔着2个环相切,
相隔着3个环相切...
$k$值呈等差数列,公差为$\pi$
注意到切点不在$z$轴上,但是很接近$z$轴,可令它在$z$轴上,以求出一个近似值:
当$t=0,\pi,2\pi$时,纵坐标为$y(0)=-\frac{k}{\sqrt{k^2+1}},y(\pi)=\frac{k+\pi }{\sqrt{k^2+1}},y(2\pi)=\frac{2 \pi -k}{\sqrt{k^2+1}}$.
令$y(0)+y(\pi)=2y(2\pi)$,求出$k=\frac{3\pi}2\approx4.71$,而真正相切时的$k$值约为4.6. |
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发表于 2021-11-25 05:18
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