本帖最后由 isee 于 2021-10-15 12:17 编辑
此题本质是绕空间直线旋转.
被 2#乌贼,6#kuing 碾压了,一个是图形线段计算,一个是等效直接败下\阵来,干脆按自己的想法尝试一下吧.
题:矩形纸片 $ABCD$ 放置于桌面上,将其绕着 $AB$ 翻转至 $ABC_1D_1$,使得纸片与桌面成 $30^\circ$ 二面角. 再以 $AD_1$ 为棱,将其翻转至 $AB_2C_2D_1$,使其与翻转前的平面也成 $30^\circ$ 二面角, 求平面 $AB_2C_2D_1 $ 与桌面所成二面角的正切值 $\tan \theta$.
解:提醒:用到了向量积的叉乘(外积),有意的.
如图所示建立空间直角坐标系,点 $A$ 是原点. 由于矩形的边长比不影响两个平面所成的角,不妨设 $AB/AD=1$ 即令 $AB=AD=2$,则
$A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$,$D_1(0,\sqrt 3,1)$.
设$B_2(x_0,y_0,z_0)$,则$\vv {AB}=(2,0,0)$,$\vv{AD_1}=(0,\sqrt 3,1)$,$\vv{AB_2}=(x_0,y_0,z_0)$.
注意到此时$$\abs{\vv {AB_2}\times \vv{AB}}=2\cdot 2\cdot \sin 30^\circ=2=\abs{\vv {AD_1}}.$$
于是有
\begin{align*}
&\abs{\vv{AB_2}}=2,\vv {AB_2}\times \vv{AB}=\vv{AD_1},\\
\iff& x_0^2+y_0^2+z_0^2=4, \ \ \begin{vmatrix}\vv i & \vv j & \vv k \\x_0 & y_0 & z_0\\2 & 0 & 0\end{vmatrix}=(0,\sqrt 3,1)\\
\Rightarrow & \vv{AB_2}=(x_0,y_0,z_0)=\left(\sqrt 3,-\frac 12,\frac {\sqrt 3}2\right)
\end{align*}
平面$ABCD$的法向量为$\vv{n_1}=(0,0,1)$. 而$\vv {AB_2}\times \vv{AD_1}=(-2,-\sqrt 3,3)$,可取平面$AB_2C_2D_1$的法向量为$\vv{n_2}=(-2,-\sqrt 3,3)$,于是所求二面角 $\theta$ 的余弦值为$\cos \theta = \cos\langle \vv{n_1},\vv{n_2}\rangle=\frac 34$,则 $\tan \theta =\frac {\sqrt 7}3$. |