回复 15# Czhang271828
谢谢,我明白了,实际上不要求$A,B$都是厄米特矩阵,只要它们都是正规矩阵,即$A^HA=AA^H,B^HB=BB^H$,并且可交换,即 $AB=BA$,这样就能同时酉对角化了。我试着证明如下:
因为$A$是正规矩阵,所以存在酉矩阵$U$使得$U^HAU$为对角矩阵,设$\lambda_1,\cdots,\lambda_k$为$A$的互不相同的特征值,重数分别为$n_1,\cdots,n_k$,则
\[U^HAU=\text{diag}(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_kE_{n_k})\]
由于$AB=BA$,所以
\[U^HAUU^HBU=U^HABU=U^HBAU=U^HBUU^HAU\]
令$X=U^HAU, Y=U^HBU$,上式即$XY=YX$,因为$X=\text{diag}(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_kE_{n_k})$且$XY=YX$,将$Y$按$X$的对角块方式分块,直接计算,并注意$\lambda_i$互不相同,因此$Y$的非对角块上的分块必定为零,于是$Y$也是准对角矩阵,每个对角块都与$X$的对角块同型,设$Y=\text{diag}(C_1,\cdots,C_k)$,其中$C_i$是$n_i$阶方阵。因为$B$是正规矩阵,所以$B^HB=BB^H$,所以
\[Y^HY=(U^HBU)^H(U^HBU)=U^HB^HUU^HBU=U^HB^HBU=U^HBB^HU=(U^HBU)(U^HB^HU)=YY^H\]
也就是对$Y$的每个对角块$C_i$都有$C_i^HC_i=C_iC_i^H$,因此每个$C_i$都是正规矩阵,于是每个$C_i$都能被酉对角化,即存在酉矩阵$V_i$使得$V_i^HC_iV_i=\text{diag}(c_{i1},\cdots,c_{in_i})$,令$V=\text{diag}(V_1,\cdots,V_k)$,则$V$是酉矩阵,再令$P=UV$,则$P$仍为酉矩阵,并且有
\begin{align*}
P^HAP &= (UV)^HA(UV)=V^H(U^HAU)V\\
&= \text{diag}(V_1,\cdots,V_k)^H\text{diag}(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_kE_{n_k})\text{diag}(V_1,\cdots,V_k)\\
&= \text{diag}(\lambda_1E_{n_1},\cdots,\lambda_kE_{n_k})
\end{align*}
\begin{align*}
P^HBP &= (UV)^HB(UV)=V^H(U^HBU)V=V^HYV\\
&= \text{diag}(V_1,\cdots,V_k)^H\text{diag}(C_1,\cdots,C_k)\text{diag}(V_1,\cdots,V_k)\\
&= \text{diag}(c_{11},\cdots,c_{1n_1},\cdots,c_{k1},\cdots,c_{kn_k})
\end{align*} |