本帖最后由 青青子衿 于 2020-10-18 15:08 编辑
回复 4# 战巡
引理:设多项式\(\,f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\,\),\(\,b_k=b_1+(k-1)d\,\),【修改\(\,b_k=b_0+kd\,\)】
其中\(\,a_k,\,b_k,\,d\inC\,\)且\(\,d\ne0\,\),\(\,1\leqslant\,\!k\leqslant \,\!n+1\,\)【修改\(\,0\leqslant\,\!k\leqslant \,\!n\,\)】,\(\,n\geqslant2\,\),则
\[ \large\sum_{k=0}^n(-1)^kf(b_k)C_n^k=(-1)^k\,\!a_{\overset{\,}0}n!\,d^n \]
当\(\,f(x)=x^n\,\),\(\,b_1=n-1\,\),\(\,d=-1\,\)(即\(\,b_k=n-k\,\))时,则有
\[ \large\sum_{k=0}^n(-1)^k(n-k)^nC_n^k=n! \]
当\(\,f(x)=x^3\,\)(其中首项系数\(\,a_0=0\,\)),\(\,b_1=1\,\),\(\,d=1\,\)(即\(\,b_k=k\,\))时,则有
\[ \large\sum_{k=0}^n(-1)^k\,k^3C_n^k=0 \]
但是,这个引理当多项式次数再高一点就不适用了……
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n(-1)^{k}C^k_n(n-k)^{n+1}&=\\
\sum_{k=0}^n(-1)^{k}C^k_n(n-k)^{n+2}&=\end{align*} |