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[几何] 一个向量问题

本帖最后由 力工 于 2020-1-14 20:48 编辑

我想学习大佬们的刀法!
已知向量$\vec a,\vec b$的模均为$r,(r>\sqrt2)$,且$\vec a\cdot \vec b=0$,若存在实数$x$与单位向量
$\vec c$,使得$|\vec c-\vec a+x(\vec a-\vec b)|+|\frac{1}{2}\vec b+(1-x)(\vec a-\vec b)|\leqslant 1$,
求$r$的最大值。
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回复 1# 力工
抛块半截砖吧。
本来我想直接用坐标法算,但最后不得不放弃了。

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本帖最后由 facebooker 于 2020-1-16 15:36 编辑

有答案吗

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微信图片_20200115194520_看图王.jpg
2020-1-15 19:49

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回复 4# jsbyhcgz
如果这样构图就复杂些了。非常有启发,谢谢。
回复 3# facebooker
愿闻翔细过程。
这题计算太南了。

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装逼解法如下:

解:由 $\abs a=\abs b$ 且 `\bm a\cdot\bm b=0` 知
\[\left| \frac12\bm b+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|=\left| -\frac12\bm a+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|,\]所以
\begin{align*}
\text{原不等式左边}&=\abs{\bm c-\bm a+x(\bm a-\bm b)}+\left| -\frac12\bm a+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&\geqslant\left| \bm c-\bm a+x(\bm a-\bm b)-\frac12\bm a+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&=\left| \bm c-\frac12\bm a-\bm b \right|\\
&\geqslant\left| \frac12\bm a+\bm b \right|-\abs{\bm c}\\
&=\frac{\sqrt5}2r-1,
\end{align*}不难验证当 `x=2/3` 且 `\bm c=(\bm a+2\bm b)/\bigl(\sqrt5r\bigr)` 时取等,所以上式就是左边的最小值,因此要存在就要满足
\[\frac{\sqrt5}2r-1\leqslant1\iff r\leqslant\frac4{\sqrt5}.\]
PS、题目没说是平面向量,所以补充这个不限维度的装逼解法还是有一点点必要性嘀

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回复 6# kuing


   

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回复 5# 力工

我的解法跟K神差不多 我错在第一步符号弄反了 应该是- 我按+算的。

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回复 6# kuing
强啊,强人额的神kuing,我也想用这个三角不等式,就是受了$\vec a,\vec b$垂直的限制,最后受不了,逃了。

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弱化版(2019-2020扬州高三期末填空第14题)
微信图片_20200117163136_看图王.jpg
2020-1-17 16:41

微信图片_20200117163842_看图王.jpg
2020-1-17 16:40

微信图片_20200117163850_看图王.jpg
2020-1-17 16:40

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回复 10# jsbyhcgz

两题所表示的几何意义还是不同的。前者如果路走偏就极难算了。

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本帖最后由 jsbyhcgz 于 2020-1-17 21:27 编辑

延长PA至PE,使得2PA=PE,然后看四边形BPDE,就明白了。都使用了同一手段,利用向量的数乘,加减运算等法则化为一个向量,再找几何意义等。(与函数消元思想类似)

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至于你问的那一题,弱化一下,条件中不等式改为Ic-a+x(a-b)|≤1,求r。意思就差不多了。

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装逼解法如下:
解:由 $\abs a=\abs b$ 且$\bm a\cdot\bm b=0$ 知……,
\begin{align*}
\text{原不等式左边}&=\abs{\bm c-\bm a+x(\bm a-\bm b)}+\left| -\frac12\bm a+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&\geqslant\left| \bm c-\bm a+x(\bm a-\bm b)-\frac12\bm a+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&=\left| \bm c-\frac12\bm a-\bm b \right|\\
&\geqslant\left| \frac12\bm a+\bm b \right|-\abs{\bm c}\\
&=\frac{\sqrt5}2r-1,
\end{align*}
...
kuing 发表于 2020-1-16 15:23

这个其实不算装逼解法,以前遇到过几次了(但一时半刻找不到例子,题目已经忘了,也是先进行合理的模的代换,再用向量模不等式的放缩),不过参考解答都是用图形解释的,显得自然一些,所以就误认为向量模的放缩就是装逼解答了(也可考虑用闵科夫斯基不等式),
下面也用了的一个向量模的等量代换,即$\abs{-\bm a+x(\bm a-\bm b)}=\abs{\bm b+x(\bm a-\bm b)}$,所以,
\begin{align*}
\text{原不等式左边}&=\abs{\bm c-\bm a+x(\bm a-\bm b)}+\left| \frac12\bm b+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&\geqslant\abs{-\bm a+x(\bm a-\bm b)}-\abs{\bm c}+\left| \frac12\bm b+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&=\abs{\bm b+x(\bm a-\bm b)}-\abs{\bm c}+\left| \frac12\bm b+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&\geqslant\left| \bm b+x(\bm a-\bm b)+\frac12\bm b+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|-\abs{\bm c}\\
&=\left| \bm a+\frac12\bm b \right|-\abs{\bm c}\\
&=\frac{\sqrt5}2r-1,
\end{align*}
以下略,代码幸好可以复制,但是有的代码却不可复制是怎么回事?、

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