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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 三角形的填空压轴题 不知道从何入手 求思路
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发表于 2019-10-7 19:37
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[几何]
三角形的填空压轴题 不知道从何入手 求思路
$\triangle ABC$中,$G$为重心,$O$为外心.$AG=GO$,求$\cos A$的取值范围___
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kuing
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发表于 2019-10-7 22:21
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暂时没啥巧妙的想法,上已知结论吧,由中线长公式易知 `9AG^2=2b^2+2c^2-a^2`,用向量方法易证 `9GO^2=9R^2-a^2-b^2-c^2`(参考
http://kuing.orzweb.net/redirect ... =4942&pid=23439
的 3#),故此
\[AG=GO\iff b^2+c^2=3R^2\iff\sin^2B+\sin^2C=\frac34,\]接下来应该不会太难搞……暂且不撸,回头再想别的方法……
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kuing
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发表于 2019-10-8 00:07
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下面这样撸好一点,至少不用知道什么已知结论。由条件有
\[
AG^2=GO^2=\bigl(\vv{AG}-\vv{AO}\bigr)^2=AG^2-2\vv{AG}\cdot\vv{AO}+R^2,
\]故
\[
R^2=2\vv{AG}\cdot\vv{AO}=\frac23\bigl(\vv{AB}+\vv{AC}\bigr)\cdot\vv{AO}=\frac13(b^2+c^2),
\]
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发表于 2019-10-9 10:32
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kuing
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发表于 2019-10-9 20:13
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kuing
怎么确定$B-C$的范围?
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发表于 2019-10-11 03:27
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isee
看看这样说行不行:不妨设 `B\leqslant C`,易证 `\sin^2B+\sin^2C=1-\cos(B-C)\cos(B+C)`,所以由上面得到的 `\sin^2B+\sin^2C=3/4` 得
\[\cos A=-\frac1{4\cos(B-C)}.\]
(1)当 `B`, `C` 均为锐角时,则 $B\nearrow\riff\sin B\nearrow\riff\sin C\searrow\riff C\searrow\riff\cos(B-C)\nearrow$,故由上式知当 $(B,C)\to(0,60\du)$ 时 `\cos A` 趋向最小,当 `B=C` 时 `\cos A` 最大,即 `\cos A\in(-1/2,-1/4]`;
(2)当 `C` 为钝角时,则 $B\nearrow\riff\sin B\nearrow\riff\sin C\searrow\riff C\nearrow\riff B+C\nearrow\riff\cos A\searrow$,故当 $(B,C)\to(0,120\du)$ 时 `\cos A` 趋向最小,且 `B` 可增加至使 `A\to0`,所以 `\cos A\in(1/2,1)`。
综上,`\cos A` 的取值范围是 `(-1/2,-1/4]\cup(1/2,1)`。
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发表于 2019-10-11 09:47
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发表于 2019-10-11 15:03
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游客
有道理,不过还需要作一点讨论。
如上图的 M 继续向左移时,会有一刻使 C 跑到 A 处,这一点得去掉,并且在此之前 A 为锐角,之后为钝角。
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发表于 2019-10-11 15:12
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kuing
答案完全正确!不过标答是用几乎纯几何法算的
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发表于 2019-10-11 15:32
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续 8#:动图演示:
2019-10-11 15:19
A、C 重合的一刻:
2019-10-11 15:18
(易证此时 `OM=R/2`)
所以,当 `OM\in(R/2,R)` 时,`A` 为锐角,`\cos A=OM/R\in(1/2,1)`;
而 `OM` 最小取到 `R/4`,当 `OM\in[R/4,R/2)` 时,`A` 为钝角,`\cos A=-OM/R\in(-1/2,1/4]`。
综上同样得答案 `(-1/2,-1/4]\cup(1/2,1)`。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2019-10-11 15:56
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发表于 2019-10-11 16:48
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kuing
基本上就是楼上这个动态图了 你的基本上就是标答了
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发表于 2019-10-11 17:09
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