圆与抛物线相切 - 初等数学讨论 - 悠闲数学娱乐论坛(第2版)

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lemondian

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发表于 2019-9-11 23:35 | 只看该作者

回复 20# kuing
哦，原来是以右焦点为极点，用惯了左焦点为极点的极坐标方程。。。

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kuing

22^#

发表于 2019-9-12 03:13 | 只看该作者

还是简略写一下代数解法吧，设切点 `P(x_0,y_0)`，则切线方程为 `x_0x/a^2+y_0y/b^2=1`，得切线与 `x` 轴的交点是 `D(a^2/x_0,0)`，由于切线也是圆的切线，故由切线长相等有 `DF=DP`（这里的 `F` 为右焦点 `(c,0)`），即
\[\frac{a^2}{x_0}-c=\sqrt{\left( \frac{a^2}{x_0}-x_0 \right)^2+y_0^2},\]把 `y_0^2=(a^2-c^2)(1-x_0^2/a^2)` 代入右边化简，得
\[\frac{a^2-cx_0}{x_0}=\frac{\sqrt{(a^2-x_0^2)(a^4-c^2x_0^2)}}{ax_0},\]因为 `a^2-cx_0` 必为正，可约去 `\sqrt{a^2-cx_0}`，即
\[a\sqrt{a^2-cx_0}=\sqrt{(a^2-x_0^2)(a^2+cx_0)},\]再两边平方化简得
\[cx_0^2+a^2x_0-2a^2c=0,\]解出 `x_0` 后其余东西即可接着求出，具体就不码了，反正就是思路简单，计算麻烦。

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hejoseph

23^#

发表于 2019-9-12 12:29 | 只看该作者

那些方法显然没有普遍性，换一些条件就难做了。

普遍可行的方法如下：先设出两圆锥曲线方程，消去 $y$，得 $f(x)=0$，消去 $x$，得 $g(y)=0$，选择 $f(x)$ 和 $g(y)$ 中次数较高的一个，假设为 $f(x)$。若两圆锥曲线是相切的，则切线的 $x$ 坐标是得到的方程的二重根，因而 $f(x)=0$ 与 $f'(x)=0$ 有公共根，这个公共根就是切点的 $x$ 坐标，再计算出 $y$ 坐标确定是否真的是切点。$f(x)$ 与 $f'(x)$ 消去 $x$ 就能得到一个方程，从这个方程就能得到所求的量。

例如，若圆与 $x$ 轴相切于点 $(x_0,0)$，且与 $y^2=2px$ 相切，圆半径为 $r$。由 $(x-x_0)^2+(y-r)^2=r^2$ 以及 $y^2=2px$ 消去 $x$，得
\[
-8 p^2 r y+4 p^2x_0^2+4 p^2 y^2-4 px_0 y^2+y^4=0
\]
上面方程对 $y$ 求导，得
\[
-4 \left(2 p^2 r-2 p^2 y+2 px_0 y-y^3\right)=0
\]
$-8 p^2 r y+4 p^2x_0^2+4 p^2 y^2-4 px_0 y^2+y^4=0$ 与 $2 p^2 r-2 p^2 y+2 px_0 y-y^3=0$ 消去 $y$（结式或辗转相除都可以消元），得
\[
27 p r^4+\left(4p^3-12 p^2x_0-24 px_0^2+32x_0^3\right)r^2-16px_0^4+16p^2x_0^3-4p^3x_0^2=0
\]

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hbghlyj

24^#

发表于 2019-9-12 12:44 | 只看该作者

回复 23# hejoseph
我今年考试的时候就用的这个思路，没有多想，最后答案也算对了，记得好像是舍去了一根

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wwdwwd

25^#

发表于 2019-9-12 14:06 | 只看该作者

这是前两天的联赛第10题。
严格的讲，其实原题只是讲两圆锥曲线恰有一个公共点，并没有说圆与抛物线相切（当然实际是相切的）。比如y^2=4x与y=1/x，就只有一个公共点，但并不相切。
所以直接利用相切，并进一步画出公切线来做的，可能被扣光了分。。。

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kuing

26^#

发表于 2019-9-12 14:20 | 只看该作者

回复 25# wwdwwd

原来如此……
我在网上找到一个答案（不确定是否官方）是这样搞的：
QQ截图20190912141638.jpg

用上了均值，还算有点意思

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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hejoseph

27^#

发表于 2019-9-12 14:23 | 只看该作者

回复 25# wwdwwd
任何圆与圆锥曲线不可能出现仅有一个交点，但交点不是相切的情形的，你可以证明一下。

$y^2=4x$ 与 $y=1/x$ 消去 $y$ 得 $4x^3=1$，这是三次方程，说明一定有一个单独的交点。

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ 与 $a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$ 消去 $y$，得 $x^4$ 项的系数为 $(a_{11}-a_{22})^2+4a_{12}^2$，若系数为 $0$，必须 $a_{11}=a_{22}$ 且 $a_{12}=0$，此时的圆锥曲线就是圆了。而此时 $x^3$ 项次数可以验证也是 $0$，只有 $x^2$ 项系数不为 $0$。因此圆与非圆的圆锥曲线消去 $y$ 后，得到的方程是 $4$ 次的，若相切的交点视为二重点，说明可能无交点，可能有两个交点，可能有四个交点。两个不相似或全等的圆，消去 $y$ 后的方程是 $2$ 次的，这也说明两个圆不可能仅有一个交点，但交点不是相切的情形。

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wwdwwd

28^#

发表于 2019-9-12 15:09 | 只看该作者

回复 27# hejoseph

是的，我不会证。。。
我是这么想的，任何椭圆（包括圆）与另一任意的圆锥曲线联立消元后，必定得一个一元四次方程。根据代数学基本定理，其四个解，要么是两对共轭虚数；要么是一对共轭虚数和两个实数；要么是四个实数。
现在，我们已经知道恰有一个公共点，说明那个公共点的x是二重根，
然后利用这个二重根，怎么说明相切？我想要回到什么是曲线相切的定义。。。

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hejoseph

29^#

发表于 2019-9-12 15:13 | 只看该作者

回复 28# wwdwwd
对四次方程有二重根就说明相切了，如果无二重根说明无切点，如果仅有一个二重根说明仅有一个切点，如果有两个不同的二重根说明有两个切点。

用本贴主楼的结论，圆是 $(x-1)^2+(y-4\sqrt 3/9)^2=(4\sqrt 3/9)^2$，与 $y^2=4x$ 消去 $x$ 后得 $9 y^4+72 y^2-128 \sqrt{3} y+144=0$，求导后得 $9 y^3+36 y-32 \sqrt{3}=0$，辗转相除法求得 $9 y^4+72 y^2-128 \sqrt{3} y+144$ 与 $9 y^3+36 y-32 \sqrt{3}$ 的最大公因式是 $3y-2\sqrt 3$，因此切点的 $y$ 值就是 $2\sqrt 3/3$。看 $9 y^4+72 y^2-128 \sqrt{3} y+144=(3y-2 \sqrt{3})^2 (3 y^2+4 \sqrt{3} y+36)/3$，这个 $y$ 值就是其二重根，另外 $3 y^2+4 \sqrt{3} y+36=0$ 无实数解，再计算出 $x$ 值，说明恰有一交点了。

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hejoseph

30^#

发表于 2019-9-12 15:37 | 只看该作者

回复 28# wwdwwd
一般曲线相切肯定不是这么简单的，就如曲线的切线与曲线的交点有时候不仅有一交点这么简单的。就这个题目，你不用管是不是相切，当两代数曲线的交点其中一个点运动无限接近另一点的时候，其坐标所满足的方程就是从不等变成重根的时候，这样就可以了吧？
消元的时候最好用结式，因为 $(x-x_0)^2+y^2=r^2$ 与 $ax^2+by^2=1$ 计算结式得到的 $x$ 的方程是四次的，是一个完全平方式，$x$ 值确实是重根（因为交点都是 $(x,\pm y)$ 这样的），如果 $y^2=r^2-(x-x_0)^2$ 直接代入 $ax^2+by^2=1$ 中得到的方程是二次的，会引起一些误解。但是消去 $y$ 得到的方程仍然是四次的，所以最终确定是否切点还是要计算出整个坐标出来才行。

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hejoseph

31^#

发表于 2019-9-12 20:40 | 只看该作者

做一些补充：
对光滑的连续函数曲线 $f(x)$ 与 $g(x)$，若 $f(x_0)=g(x_0)$，在 $x_0$ 的某一邻域内当 $x\neq x_0$ 时恒有 $f(x)>g(x)$，则 $f'(x_0)=g'(x_0)$，即 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=x_0$ 处相切。
若多项式函数曲线 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$ 在 $(x,y)=(x_0,y_0)$ 处相切，那么 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$ 用结式消去 $y$ 得 $h_1(x)=0$ 或消去 $x$ 得 $h_2(y)=0$，则 $h_1(x)=0$ 和 $h_2(y)=0$ 必定有重根。
$h_1(x)=0$ 的实数解 $x_0$ 并不意味着对应的方程组 $
\left\{
\begin{aligned}
f(x_0,y)&=0\\
g(x_0,y)&=0
\end{aligned}
\right.$ 中的解 $y_0$ 一定是实数，需要进行检验。
$h_1(x)=0$ 的重根实数解 $x_0$ 和 $h_2(y)=0$ 的重根实数解 $y_0$ 同时满足 $f(x_0,y_0)=g(x_0,y_0)=0$，但并不意味着 $(x_0,y_0)$ 一定是 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$ 的切点，例如 $f(x,y)=x^2+y^2-r^2$，$g(x,y)=ax^2+by^2-1$ 就是这种情况。但若 $h_1(x)=0$ 有重根实数解 $x_0$，方程组 $
\left\{
\begin{aligned}
f(x_0,y)&=0\\
g(x_0,y)&=0
\end{aligned}
\right.$ 有唯一的公共实数解 $y=y_0$，则 $(x_0,y_0)$ 一定是 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$ 的切点。

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敬畏数学

32^#

发表于 2019-9-12 21:31 | 只看该作者

回复 31# hejoseph
这下热闹啦!一直有个问题疑惑就是曲线与曲线相切有没有一个准确的定义？

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hejoseph

33^#

发表于 2019-9-12 21:41 | 只看该作者

回复 32# 敬畏数学

点 $(x_0,y_0)$ 是曲线 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$ 的公共点，且两曲线在此公共点处的切线重合，则称曲线 $f(x,y)=0$ 与 $g(x,y)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处相切，$(x_0,y_0)$ 为它们的切点。

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敬畏数学

34^#

发表于 2019-9-12 21:44 | 只看该作者

回复 33# hejoseph
这是哪本教材的定义啊？请教高手。

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hbghlyj

35^#

发表于 2019-9-12 22:57 | 只看该作者

回复 32# 敬畏数学 对于一连续曲线和其上一点M,当描画曲线的点M’无限趋近于M时直线MM’的极限位置(有时不存在)称为曲线在点M的切线.换言之:存在一弧，与切线t仅相交于切点M且在t的同侧.又换言之:若对于任意给定的角ε,存在一弧,弧上任一点M’和点M的连线MM’与一直线MT的夹角小于ε,则直线MT为曲线在点M的切线.和切线垂直于切点的直线,称为曲线在该点的法线.两曲线在一交点的切线成的角，称为两曲线在该点成的角(两曲线的交角).若交角为0，即两曲线在公共点有公切线,就说它们(在此点)相切.当一曲线和多边形的各边相切,并且除切点外在多边形内部(外部),就称曲线内(外)切于多边形;当一曲线过多边形的各顶点,并且除顶点外在多边形内部(外部),就称线内(外)接于多边形.
曲线上一点处的切线只有一条。过曲线上或曲线外一点的切线可能不只一条。在曲线上一点的切线可交曲线于其他点，或切曲线于其他点.
由于垂线段最短,如果曲线上存在一点P,于P的法线n经过曲线外一点A,则AP是上面的定义中的弧上最短的.AP是全曲线上最短的⇔全曲线在于P的切线t的一侧,特例是凸曲线.
由591,若存在P,使得n平分∠APB,则APB是点P附近的一段弧上最短的.APB是全曲线上最短的⇔全曲线在于P的切线的一侧,特例是凸曲线.

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hbghlyj