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4个鸭子在同一个半圆内的概率?

4个鸭子在一圆形水池中,假设每个鸭子行动都是独立的,在每个位置都是随机的(假设在任意一块面积为s的区域内,概率是s/s圆),那么某一时刻,4只在同一半圆内的概率是多少?

据说是初二奥数,都在说1/8,我觉得是1/4.
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此处应该@战版

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1/16+1/16=1/8也有道理的,我第一反应。

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本帖最后由 realnumber 于 2019-8-27 08:14 编辑

把圆等分成2n个扇形,依次编号为1,2,3....,2n
随意固定一只鸭子假定落在n号扇形(忽略落在两扇形边界),那么其余三只要么都落在1~n号,要么都落在 n~2n-1号概率都是$0.5^3$,之和是1/4.
--想了想,这个做法应该错的,第2只落在1~n,比如n-1号,第3只落在n+1号也可以在同一个半圆,这样答案比1/4还大.

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我竟然算出 1/2 自己都不太敢相信……

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四鸭依次记为 `A`, `B`, `C`, `D`,圆心 `O`,记 `\angle BOA=x`, `\angle COB=y`, `\angle DOC=z`,问题变成:在点集 `\{(x,y,z)\mid x>0,y>0,z>0,x+y+z<2\pi\}` 内求 `\{(x,y,z)\mid x>\pi\lor y>\pi\lor z>\pi\lor x+y+z<\pi\}` 所占的体积比是多少。

也就是一个直四面体沿“中位面”切出四个角,而每个角都是占 `1/2^3`,加起来就是 `1/2` 了。

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如果楼上这样算是 OK 的话,那如果是 `n` 只鸭,是不是就是 `n/2^{n-1}` 了?

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本帖最后由 lemondian 于 2019-8-26 23:58 编辑

回复 7# kuing
应该是1/2,知乎有蛮多的讨论
https://zhuanlan.zhihu.com/p/77735377
https://www.zhihu.com/question/339701586/answer/783235268

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回复 8# lemondian

作对称的法子挺有意思

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或者说:给定 `\theta\in(0,\pi]`,则 `n` 只鸭同在圆心角为 `\theta` 的扇形内的概率为 `n\bigl(\frac\theta{2\pi}\bigr)^{n-1}`?

但如果 `\theta>\pi`,结论就会不同,就如上面讲的直四面体切角,这时被切部分有重叠,得减回去,时间关系明天再扯……

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本帖最后由 realnumber 于 2021-10-5 15:34 编辑

百度到一个
https://blog.csdn.net/zmazon/article/details/8547278
912活动课难题

1.设$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$n$个任意给定的整数,求证:其中一定可以找到紧连在一起的若干个数,使得它们的和(即"片断和")可被$n$整除.
2.对于任意的正整数$m,n$,和$S=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots+\frac{1}{m+n}$不是整数.
附加题:
1.证明:存在无穷多个正整数$n$,使得$(n^2+1)\mid n!$.
2.①求证:4k+3(k∈Z+)型的素数有无穷个. ②求证:4k+1(k∈Z+)型的素数有无穷个.
   ③求证:6k+5(k∈Z+)型的素数有无穷个. ④求证:6k+1(k∈Z+)型的素数有无穷个.
3.求证:对于$n\ge 2,n\in Z$,有$\sum_{i=1}^{n-1}(i\ln{i})\ge \sum_{i=1}^{n-1}(i\ln (\frac{n}{2}))$
1.记$S_1=a_1,S_2=a_1+a_2,S_3=a_1+a_2+a_3.\cdots,S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$
以上$n$个中,若有一个被$n$整除,则原题结论成立,若没有一个被$n$整除,则mod n下,至少有2个余数相同,不妨设$S_i,S_j(i<j)$,那么$S_j-S_i$即符合题意.
2.每一个$m+i=q_i2^{t_i}$,$q_i$为奇数,$t_i$为非负整数,$i=0,1,\cdots,n-1$,可得某个$t_i$最大有且只有一个,否则若$t_j=t_k$最大,则有$i=\frac{j+k}{2}$对应的$t_i$更大,不妨记最大的为$t_i$.
1  3  5  7  9   11   13      15
  2      6     10           14
     4                12
              8
                                          16
如此,若S为整数,等式两边乘以$q_0q_1q_2\cdots q_{n-1}2^{t_i}$,那么左边偶数,右边奇数,矛盾.
附加题
1.令$n=2k^2,k\in N$,则 $n^2+1=4k^4+1=(2k^2+2k+1)(2k^2-2k+1)$
辗转相除可得$(2k^2+2k+1,2k^2-2k+1)=1$
又$2k^2-2k+1<n$,因此$2k^2-2k+1\mid n!$
再令$k=25m+1$
$2k^2+2k+1=5(250m^2+30m+1)$,$(5,250m^2+30m+1)=1$
$5<250m^2+30m+1<n$,因此$(2k^2+2k+1)\mid n!$
即当$n=2(25m+1)^2$时,$(n^2+1)\mid n!$成立.
2.1 假设$4k+3$型素数只有有限个,依次是$3,p_1,p_2,\cdots ,p_n$,
考虑$m=4(p_1p_2\cdots p_n)^2+3$,它的素因数不全为$4k+1$型(即至少有一个$4k+3$型),但显然不能被$3,p_1,p_2,\cdots ,p_n$中任意一个整除,矛盾.
2.2 先证明$4n^2+1$有且只有$4k+1$型素因数.
假设有$p=4k+3,p\mid 4n^2+1$.即$(2n)^2=-1 \mod p$,得$(2n)^{4k+2}=-1 \mod p$
又由费马小定理$(2n)^{4k+2}=(2n)^{p-1}=1 \mod p$,矛盾.
假设$4k+1$型有限个$p_1,p_2,\cdots ,p_n$.
构造$m=4(p_1p_2\cdots p_n)^2+1$.

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水这么深。。。。。那1/8为什么错了?

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来一个非主流解法:递推 + 数归。(过程可能很难理解,但也可能未有人这样解过)

`n` 只鸭在圆形水池内随机游动,给定 `\theta\in(0,\pi]`,设某一时刻这些鸭同在圆心角为 `\theta` 的扇形内的概率为 `f(n,\theta)`,显然有 `f(1,\theta)=1`, `f(2,\theta)=\theta/\pi`。

当 `n\geqslant3` 时,我们假设其中两鸭与圆心 `O` 连成的角为 `\angle AOB=x`,然后把 `k` 只鸭放在角的外部,其余放在内部,内部显然可以随便放,但外部有限制,实际上这相当于圆内 `k+1` 只鸭同在圆心角为 `\frac{2\pi}{2\pi-x}(\theta-x)` 的扇形内的情形(其理由实在不知怎么表达,只能画个示意图如下,希望能帮助意会),
QQ截图20190827112105.png
2019-8-27 11:21
timg.gif
2019-8-27 12:06

所以这种情况下的概率为
\[C_{n-2}^k\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-2-k}\left( 1-\frac x{2\pi} \right)^kf\left( k+1,\frac{2\pi}{2\pi-x}(\theta-x) \right),\]从而得到递推关系
\[
f(n,\theta)=\int_0^\theta\sum_{k=0}^{n-2}C_{n-2}^k
\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-2-k}
\left( 1-\frac x{2\pi} \right)^k
f\left( k+1,\frac{2\pi}{2\pi-x}(\theta-x) \right)
\frac{\rmd x}\pi,
\]接下来用数归,假设对 `k\in\{1,2,\ldots,n\}` 均有
\[f(k,\theta)=k\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{k-1},\]则当 `k=n+1` 时
\begin{align*}
f(n+1,\theta)&=\int_0^\theta\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k
\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-1-k}
\left( 1-\frac x{2\pi} \right)^k
(k+1)\left( \frac{\theta-x}{2\pi-x} \right)^k
\frac{\rmd x}\pi\\
&=\int_0^\theta\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k
\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-1-k}
\left( \frac{\theta-x}{2\pi} \right)^k
(k+1)\frac{\rmd x}\pi,
\end{align*}利用二项式定理易证
\[\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k\left( \frac x{2\pi} \right)^{n-1-k}\left( \frac{\theta-x}{2\pi} \right)^k(k+1)=\left( n-(n-1)\frac x\theta\right)\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{n-1},\]从而
\[
f(n+1,\theta)=\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{n-1}
\int_0^\theta\left( n-(n-1)\frac x\theta\right)\frac{\rmd x}\pi
=(n+1)\left( \frac\theta{2\pi} \right)^n,
\]故由数学归纳法可知对所有正整数 `n` 都有
\[f(n,\theta)=n\left( \frac\theta{2\pi} \right)^{n-1}.\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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blog7.png
2019-8-27 16:33

下面文档是四鸭分池问题的解答;
Lovelive! Sunshine!! 四鸭分池问题详解.pdf (908.13 KB)
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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回复 14# 其妙

选四条直径,其实还是要涉及圆内点的分布问题。。。。这个,初中生,多数,怕是不太可能想到吧。。。

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程序验证了下
uses math;
var
   i,j,k,w,x,y,z,u: longint;
begin
  j:=0;
   for i:=1 to 10000 do
   begin
     w:=random(3600);
     x:=random(3600);
     y:=random(3600);
     z:=random(3600);
     if w>x then begin u:=x; x:=w;w:=u ; end;
     if w>y then begin u:=y; y:=w;w:=u ; end;
     if w>z then begin u:=z; z:=w;w:=u ; end;
     if x>y then begin u:=y; y:=x;x:=u ; end;
     if x>z then begin u:=z; z:=x;x:=u ; end;
     if y>z then begin u:=z; z:=y;y:=u ; end;

     if (x-w>=1800) or (y-x>=1800) or (z-y>=1800) or (w+3600-z>=1800) then j:=j+1;
     writeln(w,' ',x,' ',y,' ',z,' ',j);
   end;
end.
476 1087 1715 2620 4989
564 2237 2931 3040 4989
100 266 578 830 4990
1022 2056 2937 3314 4990
885 1069 1699 2609 4991
1342 1558 1924 2743 4992
231 1037 1399 3152 4992
293 1069 1568 2223 4992
416 1044 1850 3456 4992
1166 1737 3074 3362 4992
1411 1667 2330 3573 4992
1531 1696 1866 3009 4993
662 1264 1620 1837 4994
478 1094 2575 2579 4994
445 612 923 2253 4994
6 676 1927 2407 4994
123 1255 1293 3213 4995
97 342 2362 2808 4996
27 597 814 2980 4997
403 834 1903 1932 4998
2185 2539 2676 3176 4999
638 1721 2693 3432 4999
729 1073 1607 2896 4999
1296 2198 2253 3248 4999
也就是说概率0.5对的,本来还想试试取点,不是上面取角度.

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怕出现类似"贝特朗奇论"情景,特意又编了个随机取点(x,y),不是上面取角度
uses math;
var
   i,j,k,t,w,x,y,z,u: longint;
   wx,wy,xx,xy,yx,yy,zx,zy,pi:float;
begin
  j:=0;t:=0; pi:=3.14159265358979323;
   for i:=1 to 100000 do
   begin
     wx:=2*(random-0.5);wy:=2*(random-0.5); if wx*wx+wy*wy>1 then continue;
     xx:=2*(random-0.5);xy:=2*(random-0.5); if xx*xx+xy*xy>1 then continue;
     yx:=2*(random-0.5);yy:=2*(random-0.5); if yx*yx+yy*yy>1 then continue;
     zx:=2*(random-0.5);zy:=2*(random-0.5); if zx*zx+zy*zy>1 then continue;
     w:=trunc(1800*arccos(wx/sqrt(wx*wx+wy*wy))/pi);
     x:=trunc(1800*arccos(xx/sqrt(xx*xx+xy*xy))/pi);
     y:=trunc(1800*arccos(yx/sqrt(yx*yx+yy*yy))/pi);
     z:=trunc(1800*arccos(zx/sqrt(zx*zx+zy*zy))/pi);
     if wy<0 then  w:=3600-w;
     if xy<0 then  x:=3600-x;
     if yy<0 then  y:=3600-y;
     if zy<0 then  z:=3600-z;
     t:=t+1;

     if w>x then begin u:=x; x:=w;w:=u ; end;
     if w>y then begin u:=y; y:=w;w:=u ; end;
     if w>z then begin u:=z; z:=w;w:=u ; end;
     if x>y then begin u:=y; y:=x;x:=u ; end;
     if x>z then begin u:=z; z:=x;x:=u ; end;
     if y>z then begin u:=z; z:=y;y:=u ; end;

     if (x-w>=1800) or (y-x>=1800) or (z-y>=1800) or (w+3600-z>=1800) then j:=j+1;
     writeln(w,' ',x,' ',y,' ',z,' ',t,' ',j);
   end;
end.
91 576 1626 1944 37868 19078
705 2219 2427 3468 37869 19078
579 3137 3520 3566 37870 19079
1023 1197 1792 2867 37871 1907
1213 2132 2197 2926 37872 1908
1143 1505 1735 2305 37873 1908
206 1658 1873 3185 37874 19081
788 1166 1443 2612 37875 19081
190 426 1347 2754 37876 19081
169 535 1801 3541 37877 19081
1900 2135 2332 2927 37878 1908
63 1643 2127 2571 37879 19082
141 931 1562 1597 37880 19083
306 851 2532 2609 37881 19083
378 500 2116 3094 37882 19083
492 1376 2740 3445 37883 19083
412 1524 3145 3374 37884 19083
400 2226 3353 3473 37885 19084
1283 1405 2929 3087 37886 1908
500 1361 1703 3089 37887 19084
56 1186 2054 2441 37888 19084
274 537 824 1155 37889 19085
308 979 1557 2874 37890 19085
226 577 1409 2289 37891 19085
看来概率19085/37891也是约0.5

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