本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-15 18:44 编辑
是的,我也注意到 $ACD$ 前面少了个重要的限定语。如果理解为平面 $ACD$, 就是一个完整的椭圆,那直觉应该是在 $AB$ 另一侧的与最近点对称的那个点。还是算一算吧。
记 $CD$ 中点为 $E$, 有 $AE=BE=\sqrt{10^2-6^2}=8$, $\triangle AEB$ 是等边三角形。 作 $EF\perp AB$ 于 $F$, 有 $AF=FB=4, EF=4\sqrt{3}$.
显然 $B$ 在 平面 $ACD$ 内的投影 $B'$ 为 $AE$ 中点,且 $BB'=4\sqrt{3}$,
设所考察的椭圆弧与 $AE,AD$ 的交点分别为 $G,H$, 有
$AG=\sqrt{21}\csc 60\du=2\sqrt{7}$
$\cfrac {AH}{10}=\cfrac {\sqrt{21}}{DF}\implies AH=\cfrac {10\sqrt{21}}{\sqrt{10^2-4^2}}=5,H$ 是 $AD$ 中点.
以 $A$ 为坐标原点,$AE$ 为 $X$ 轴正方向建立坐标系,椭圆 $a=AG=2\sqrt{7}$ , 过 $H(5,3)$, 容易得出椭圆方程为 $\cfrac {x^2}{28}+\cfrac {y^2}{84}=1$。现求同平面内的 $B'(4,0)$ (在椭圆内部)到, 取决于对题目的理解,
1. 椭圆上所有点 $P$ 的最远距离; 或
2. 椭圆上 $G(2\sqrt{7},0)$ 到 $H(5,3)$ 之间的点的最远距离
第2种情况应该就是 $H$ 点, 太平凡。估计出题者的意思还真是第一种情况的理解。这算一个约束条件下的最大值问题,我没有什么好办法。求
$\mathrm{Max}\{(x-4)^2+y^2\}$, 满足 $\cfrac {x^2}{28}+\cfrac {y^2}{84}=1$, 得到的是最大的 $B'P^2$,加上 $BB'^2$,开平方,即得到所求最大值。 |