本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-3 10:32 编辑
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假设 $Re\{x(a+\bar{c})\}=0$,且 $|x|^2\ne 1$, 而显然 $x\ne 0$, 则 $x(a+\bar{c})$ 为纯虚,不妨记其为 $ki, (k\ne 0)$。(1) 式变形为
$$(|x|^2-1)ki+(b+\bar{b})|x|^2=0$$
显然有 $|x|=1$, 假设不成立,或者 $Re\{x(a+\bar{c})\}\ne 0 $ 或者 $|x|=1$。两种情况都指向 $|x|=1$. 命题得证。
上面的证明隐含地使用了 $a+\bar{c}\ne 0$。由第一个方程和韦达定理有 $x_1x_2=\cfrac ca$, 由题设两个根的模都小于 $1$ 知 $|c|<|a|$, 则 $a+\bar{c}\ne 0$. |