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[不等式] 来道不等式难题 $\sum_{cyc} \cfrac 1{7a+b}$ 型

题目来自 math.stackexchange.

已知 $a,b,c>0, a+b+c=abc$ 求证:
$$\frac{1}{7a+b}+\frac{1}{7b+c}+\frac{1}{7c+a}\leq\frac{\sqrt3}{8}$$

我把它恒等变型,得到如下等价的命题: $x,y,z>0 \land x+y+z=1 \implies \sqrt{xyz}\sum_{cyc}\cfrac 1{7x+y}\leq\frac{\sqrt3}{8}$.

这个不等式不知道该怎样缩放,一放就容易放过头。这个帖子有快两年的历史了,试的人不少,至今无解。
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连 Michael Rozenberg 都搞不定,我看我也没什么机会能做出来了……

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那位大神是?

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回复 2# kuing


    可以试试切线法结合放缩。

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回复 4# Infinity

切入点需要极巧。这个不等式不太经得起放缩,一不小心就放过头(最大值成了最小值)。放到能用切线法,应该就不是问题了。

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一般来说,大多数不等式的源头是排序不等式和琴生不等式,切线法本质上是琴生不等式的变体版。可以试试原始的琴生不等式或排序不等式。

经尝试发现取等条件之一是xyz三者相等,故可以考虑上述方法。还可以使用调整法,比如固定两个相等,剩下一个变化,不过可能比较麻烦。

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既然老头子玩不出来我就玩一下,我一玩就知道这个不等式不是老头子能玩的系列,因为已超出他的手段范围了,即使是差分都有多个负项,所以不是他能搞动的了,不过我们仍有手段搞出来,只是证明不漂亮了,没什么困难。这样的东西玩得多了。因为是循环的,想漂亮弄出来,几乎不可能.
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评分人数

    • realnumber: 估计你写出来我也看不懂,但我就想看看你写 ...威望 + 1

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回复 8# zdyzhj

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