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[函数] 二元函数最值

二元函数值域.png
2018-10-25 17:32
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回复 1# guanmo1
好像有点图形味道,但还是没有结果。

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回复 2# 敬畏数学
三角形的周长,三个顶点为$(a,a),(0,b),(1,3)$

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本帖最后由 huing 于 2018-11-14 14:28 编辑

问题转化为:在y轴和大斜线x=y上各找一动点,与定点(1,3)形成一个三角形,求其周长的取值范围。
周长显然只有下界,没有上界。
按费马最小光程原理,最小三角形是一个光回路三角形。
光回路三角形.PNG
2018-11-14 12:20

如图,作定点$C(1,3)$关于y轴和大斜线$x=y$的镜像点$C_1(3,1),C_2(-1,3)$,将周长$CA+AB+BC$转化为折线长$C_1A+AB+BC_2$,
显然$C_1A+AB+BC_2\geqslant C_1C_2$. 所以连结线段$C_1C_2$,取与y轴和大斜线的交点$A_0(5/3,5/3),B_0(0,5/2)$, 即得最小三角形$A_0B_0C$. 最小周长$C_1C_2=\sqrt{(3+1)^2+(1-3)^2}=2\sqrt{5}$.

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回复 4# huing
构造美妙!

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问题转化为:在y轴和大斜线x=y上各找一动点,与定点(1,3)形成一个三角形,求其周长的取值范围。
周长显然只 ...
huing 发表于 2018-11-14 11:43

你是不是kuing的替身呀?
既然都知道是距离之和了,那就不必辛苦画图了,用向量模不等式或者闵科夫斯基不等式,亦或构造复数模,即可分分钟灭掉它!
$f(a,b)=\sqrt{(3-a)^2+(1-a)^2}+\sqrt{1^2+(b-3)^2}+\sqrt{a^2+(a-b)^2}
\hspace{3em} \geqslant\sqrt{[(3-a)+1+a]^2+[(1-a)+(b-3)+(a-b)]^2}$

说明:\hspace{3em}3个空格,
两个quad空格    \qquad
1个空格  quad空格
参考:http://blog.sina.com.cn/s/blog_4ddef8f80100iwwv.html

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回复 6# 其妙

用空格干啥,用 align 系列环境写啊

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回复 7# kuing
你这么快就回复了呀,我还想修改呢!这下不好 修改了,有痕迹了

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回复 6# 其妙
2#给了调子,要用图形嘛。有几何解释,可能更好吧。

俺不是kuing的化身,是kuing的粉丝。粉丝与偶像的解题风格有点不同呢。

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