繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 来自减压群的二重根号不等式
返回列表
发帖
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2018-10-31 14:40
|
只看该作者
[不等式]
来自减压群的二重根号不等式
生如夏花(2365*****) 11:29:38
看个数学题
2018-10-31 14:15
令
\[f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}},\quad x\in[0,+\infty),\]
求二阶导数并化简得
\[f''(x)=\frac{(1-3x^2)\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}{4(x^2+1)^{3/2}\bigl(\sqrt{x^2+1}+2x\bigr)},\]
可见 `f(x)` 在 `\bigl[0,\sqrt{1/3}\bigr]` 内下凸,在 `\bigl[\sqrt{1/3},+\infty\bigr)` 内上凸,易知 `f(x)` 在 `x=1` 处的切线方程为
\[h(x)=\frac{\sqrt{1+\sqrt2}}{2\sqrt2}(x-1)+\sqrt{1+\sqrt2},\]
因为 `1\in\bigl[\sqrt{1/3},+\infty\bigr)`,且不难证明 `f(0)<h(0)`,那么,根据《撸题集》第 5 页定理 1.1.1 可知
\[f(x)\leqslant h(x), \quad x\in[0,+\infty),\]
所以,若 `a_i\geqslant0` 且 `a_1+a_2+\cdots+a_n=n`,则有
\[\sum_{i=1}^nf(a_i)\leqslant\sum_{i=1}^nh(a_i)=\frac{\sqrt{1+\sqrt2}}{2\sqrt2}\left( \sum_{i=1}^na_i-n \right)+n\sqrt{1+\sqrt2}=n\sqrt{1+\sqrt2},\]
令 `n=2` 即得原题。
收藏
分享
分享到:
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
wwdwwd117
发短消息
加为好友
wwdwwd117
当前离线
UID
2781
帖子
44
主题
3
精华
0
积分
228
威望
0
阅读权限
50
在线时间
15 小时
注册时间
2018-1-3
最后登录
2019-9-17
2
#
发表于 2018-10-31 17:53
|
只看该作者
直接f(x)+f(2-x)求导,判断(0,1)上导数大于0,单增,是不是更麻烦些?
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
3
#
发表于 2018-10-31 23:29
|
只看该作者
回复
2#
wwdwwd117
恐怕会非常麻烦吧,我没细想,你实操过没?
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]