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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一个三元不等式的加强
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12673zf
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发表于 2018-6-30 11:51
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[不等式]
一个三元不等式的加强
本帖最后由 12673zf 于 2018-6-30 12:22 编辑
$x^2+2y^2+3z^2>=k(xy+yz+zx)$
当k=$\sqrt{3}$,是比较好证明的,但是否存在k>$\sqrt{3}$,使得对于任意实数x,y,z不等式恒成立呢?
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发表于 2018-6-30 18:10
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`k_{\max}=4\cos(\pi/9)-2`
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发表于 2018-6-30 18:24
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只看该作者
这类问题早就被玩烂,我也不卖关子了,直接搬 20 年前的《数学奥林匹克教程》上的过程:
2018-6-30 18:24
2018-6-30 18:24
2018-6-30 18:24
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2018-6-30 23:39
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kuing
谢谢大佬的解答,长见识了。
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发表于 2018-7-2 08:58
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本帖最后由 敬畏数学 于 2018-7-2 12:34 编辑
此题算是一个略加改编的题。其实很简单直接配方(二次)或者二次函数图像解决。或者直接猜K=2,再正之OK!解决。
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发表于 2018-7-2 13:48
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敬畏数学
2# 的结果表明 k=2 不成立
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发表于 2018-7-2 16:14
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kuing
2018-7-2 16:14
这个行不行呢?
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发表于 2018-7-2 16:37
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懒得看,你不信你就试试代入 x=5/2, y=z=1 看看 k=2 成不成立
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lemondian
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发表于 2018-7-2 17:14
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本帖最后由 lemondian 于 2018-7-2 17:30 编辑
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kuing
这是竞赛题所给的答案,不是我做的,我没验证过,难道原答案有错?
确实如此,验证不通过!原答案有误!
那么7#的解法问题出现在哪呢?
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发表于 2018-7-2 17:59
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才想起,二次函数的法子之前在
http://kuing.orzweb.net/redirect ... =5263&pid=26005
(14楼)也写过,同样可以得出3#的结论……
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发表于 2018-7-2 19:21
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lemondian
题目出处是安徽2018年初赛第11题,我当时选的是x=3,y=2,z=1(尽量偏向排序不等式中的倒序),有k<20/11约为1.81,所以我猜可能没有更大的值了。
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本帖最后由 敬畏数学 于 2018-7-3 08:56 编辑
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敬畏数学
刚才在刷一道题时,想起貌似著名不等式,x^2+y^2+z^2》2xyCOSA+2xzCOSB+2yZCOSC(A,BC为三角形内角)
,再利用著名三角恒等式cos^2A+cos^2B+cos^2c+2cosACOSBCOSC=1,得到g(k)=k^3+6k^2-24=0,且|K|《2根号2,哈哈,三次函数问根得问题,轻松导数上来,零点存在定理,(0,+∞)递增,端点值代入为负,完毕!这种套路题很流行的,多刷!
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发表于 2018-7-3 08:47
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lemondian
运算低级错误!配方法也时OK的!
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发表于 2018-7-3 08:58
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脑细胞强大!
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发表于 2018-7-3 09:47
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对二次型来说, 判别式法是非常好的选择, 原因是二次型的判别式仍然是二次型, 并且减少一个变元, 因此可以递推下去. 很容易求得所要的最佳值是方程$k^3+6k^2-24=0$ 的唯一正根, 大约是1.758.
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发表于 2018-7-3 11:46
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本帖最后由 敬畏数学 于 2018-7-3 11:48 编辑
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但是此题全凭二次好像很难搞定。K=2不行。
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发表于 2018-7-3 13:19
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k=2, 上面的不等式根本不成立. 算出来的判别式是不定的二次型. 怎么会很难搞定呢?
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发表于 2018-7-4 11:29
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确实是可以的。一样的。简单就是二次玩到底,最后得到:$ |k|\leqslant 2\sqrt{2},k^3+6k^2-24\geqslant 0$
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发表于 2018-7-5 09:04
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这个根:1.758如何求得?三次方程求解吗?
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发表于 2018-7-5 09:06
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敬畏数学
应该是$|k|\leqslant 2\sqrt{2},k^3+6k^2-24\leqslant 0$吧?
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