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[函数] 2018年全国卷2理科第21题 常见函数求导

本帖最后由 isee 于 2018-6-21 14:11 编辑

第(1)问太普通了,送分的,第(2)问,分参不就是个填空题了么?


文字版:

已知函数$f(x) = \mathrm e^x - ax^2$ .
(1)若$a = 1$ ,证明:当$x \geqslant 0$ 时,$f(x) \geqslant 1$ ;
(2)若$f(x)$ 在$(0,+\infty)$ 只有一个零点,求$a$ .
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(1) 在 $a = 1$ 时, $f (x) = \mathrm{e}^x - x^2$,导函数 $f' (x) =  \mathrm{e}^x - 2 x$,二阶导函数 $f'' (x) = \mathrm{e}^x -  2$,并且当 $x \in (0, \ln 2)$ 时 $f'' (x) < 0$,而当 $x \in (\ln 2,  + \infty)$ 时 $f'' (x) > 0$,因此 $f' (x)$ 在 $(0, \ln 2)$  上单调减少,而在 $(\ln 2, + \infty)$ 上单调增加,在 $x = \ln  2$ 时有最小值,这最小值是 $f' (\ln 2) = 2 - 2 \ln 2 >  0$,因此导函数 $f' (x) > 0$ 恒成立,即函数 $f (x)$ 在 $(0, +  \infty)$ 上恒为单调增加,从而在这区间上恒有 $f (x)  \geqslant f (0) = 1$.

  (2)  这题如果从几何直观上看,容易看出当指数函数与二次函数相切时符合条件,于是由两个函数的函数值相等并且导函数相等联立方程组可解得  $x = 2$,$a = \frac{1}{4} \mathrm{e}^2$.  这就是答案,不过这里需要严格认证.

  导函数 $f' (x) = \mathrm{e}^x - 2 a x$,二阶导函数 $f'' (x) =  \mathrm{e}^x - 2 a$,易知 $x \in (0, \ln (2 a))$ 时$f'' (x) <  0$,而当 $x \in (\ln (2 a), + \infty)$ 时 $f'' (x) > 0$,因此 $f'  (x)$ 在 $(0, \ln (2 a))$ 上单调减少,而在 $(\ln (2 a), + \infty)$  上单调增加,在 $x = \ln (2 a)$ 时有最小值,这最小值是 $f'  (\ln (2 a)) = 2 a - 2 a \ln (2 a)$,讨论如下:

  (2.a) 若 $a \leqslant \frac{1}{2} \mathrm{e}$,那么导函数 $f' (x)$  恒为非负号,且仅在一处取零值,从而 $f (x)$  恒保持递增,而 $f (0) = 1 >  0$,因此此时函数不可能有零点,不符合要求.

  (2.b) 若 $a > \frac{1}{2} \mathrm{e}$,此时导函数 $f' (x)$  的最小值为负值,且 $f' (0) = 1 > 0$,为了说明 $f' (x)$  在右边的递增区间上能够达到正值,先建立不等式  $\mathrm{e}^x >  \frac{x^3}{6}$,这只要通过三次求导就可以证明它,此处略去,以  $x = 4 a$ 代入得 $\mathrm{e}^{4 a} > \frac{84^3}{6} a^3 > 8 a^2$,即  $f' (4 a) > 0$,于是 $f' (x)$ 在区间 $(0, \ln (2 a))$  上由正值单调减少到负值,它在 $(\ln (2 a), + \infty)$  上又由负值单调增加到正值,因此此时 $f' (x)$  在这个两个区间上各有一个零点,分别记为 $x_1$ 和  $x_2$,则函数 $f (x)$ 在 $(0, x_1)$ 上单调增加,在 $(x_1, x_2)$  上单调减少,在 $(x_2, + \infty)$ 上单调增加. 并且 $f (0) = 1 >  0$,此处再证明它在 $(x_2, + \infty)$  上能够增加到正值,仍然借由不等式 $\mathrm{e}^x >  \frac{x^3}{6}$,取 $x = 8 a$ 代入即得 $\mathrm{e}^{8 a} >  \frac{8^3}{6} a^3 > 64 a^3$,即 $f (8 a) > 0$,从而它在 $(x_2, +  \infty)$ 上是能够增加到正值的 .自然的,函数 $f (x)$ 在 $(0,  x_1)$ 上是不可能有零点的,因为 $f (0) = 1 > 0$,并且可得 $f  (x_1) > 0$,再来看 $f (x_2)$ 的符号,如果 $f (x_2) >  0$,那自然函数在 $(x_1, x_2)$ 和 $(x_2, + \infty)$  上都不可能有零点了,如果 $f (x_2) < 0$,那么函数在 $(x_1,  x_2)$ 和 $(x_2, + \infty)$  上都各有一个零点,也不符合题意,只有在 $f (x_2) = 0$  时能够满足题目条件,显然也有 $f' (x_2) =  0$,于是得方程组
\[\left\{\begin{array}{l}
       f (x_2) = \mathrm{e}^{x_2} - a x_2^2 = 0\\
       f' (x_2) = \mathrm{e}^{x_2} - 2 a x_2 = 0
\end{array}\right.\]
  两式相减得 $a x_2^2 = 2 a x_2$,因 $x_2 > 0$, $a > \frac{1}{2}  \mathrm{e} > 0$,得 $x_2 = 2$,于是 $a = \frac{1}{4} \mathrm{e}^2$.
数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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打死不分参,打死不分参,打死不分参。。。

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回复 2# zhcosin


抗议抗议,放到1.5倍或者2倍再截,字小得。。。

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回复 4# isee
因为用的 TeXmacs 的书籍模板,有正文有习题,习题的字号比正文小一号,偏偏这个解题记录全TMD是题目,于是就全文小一号了。。。还没折腾 TeXmacs 的模板,也不敢。。。。

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回复 5# zhcosin

导出 latex 贴上来

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回复 6# kuing
这个办法好.

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回复 2# zhcosin

写得够清晰的,不过,少了$a\leqslant 0$的情况,及后来的$a>0,\ln(2a)\leqslant 0$的讨论。

另外,如果是我,我将会用表格表述。

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打死不分参,打死不分参,打死不分参。。。
zhcosin 发表于 2018-6-8 17:41

加一个“的”字,可能更好!加哪里好呢?

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本帖最后由 zhcosin 于 2018-6-11 21:14 编辑

回复 9# shidilin
打死的不分参?
打的死不分参?
打死不分参的?
分参的打死不?
分参打的死不?
打不死的分参?
分参的不打死?
分参的打不死?

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回复 10# zhcosin

已处理2#的换行

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回复 11# kuing

niubility.

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函数y=e^x图象与抛物线y=ax^2在第一象限相切,
e^x=ax^2,e^x=2ax,→x=2,a=?
这个应该当填空考!

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分离变量后,a=e^x/x^2,极值点x=2,X趋近0(右边),y趋近+无穷。x∈(0,2),y∈(g(2),+无穷),x趋近+无穷时,e^x>1+x+x^2/2+x^3/6(X大于4),y趋近+无穷。x∈(2,+无穷),y∈(g(2),+无穷),综上,a=g(2)即为所求。

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