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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一个与最值相关的计算问题
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力工
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发表于 2018-5-15 07:06
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[函数]
一个与最值相关的计算问题
表示计算很繁。已知直线$y=kx+2$与曲线$y=e^x$交于$A,B$两点,求$\triangle AOB$面积最小时的$k$值。
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发表于 2018-5-15 14:05
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我家停电了,只能手写了下,爪机上又发不了图上来,585帮我发下
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Tesla35
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发表于 2018-5-15 14:07
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2018-5-15 14:07
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发表于 2018-5-15 14:11
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Tesla35
谢谢585
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力工
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发表于 2018-5-15 15:45
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色k
色k神啦!我绕死了。
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色k
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发表于 2018-5-15 16:38
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力工
手写得比较简略,等来电了再码代码
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dahool
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发表于 2018-5-15 16:53
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色k
你这字是认真的嘛
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kuing
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发表于 2018-5-15 22:26
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来了,码一下。
设 `A`, `B` 的横坐标分别为 `x_1`, `x_2`,则\begin{align*}
kx_1+2&=e^{x_1},\\
kx_2+2&=e^{x_2},
\end{align*}易证\[\S{OAB}=\abs{x_1-x_2},\]设\[f(x)=\frac{e^x-2}x,\]则\[f(x_1)=f(x_2)=k,\]由此易知 $\S{OAB}$ 取最小值时必有\[f'(x_1)=f'(x_2),\]求导有\[f'(x)=\frac{e^x(x-1)+2}{x^2},\]所以\[\frac{(kx_1+2)(x_1-1)+2}{x_1^2}=\frac{(kx_2+2)(x_2-1)+2}{x_2^2},\]化简即\[\frac{2-k}{x_1}=\frac{2-k}{x_2},\]由于 `x_1\ne x_2`,所以如果 $\S{OAB}$ 存在最小值,则只能是 `k=2` 时取得,至于最小值存在性是显然的,所以结果就是 `k=2`。
注1:关于“$\S{OAB}$ 取最小值时必有 `f'(x_1)=f'(x_2)`”这一点可以从几何意义看出来,当然也可以严格地证:
\[\frac{\rmd(x_1-x_2)}{\rmd k}=\frac1{\rmd k/\rmd x_1}-\frac1{\rmd k/\rmd x_2}
=\frac1{f'(x_1)}-\frac1{f'(x_2)}.\]
注2:如果将直线改成 `y=kx+b`,其中 `b` 为大于 `1` 的常数,则结论为:当 `k=b` 时面积最小。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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kuing
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发表于 2018-5-16 00:07
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发表于 2018-5-16 09:15
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kuing
伏地膜大神,谢谢,有图有解有注释。
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敬畏数学
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发表于 2018-5-16 10:31
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需要好好研究一下此题。
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游客
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