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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 证明周期性
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chudengshuxue
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发表于 2018-5-10 17:40
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证明周期性
2018-5-10 18:05
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realnumber
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发表于 2018-5-10 21:16
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这样算周期数列吗?
a0=7,a=3
依次是7,10,5,8,4,2,1,4,2,1,.....
试验了几个,似乎a≥a0时,从第一项起就是周期数列
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chudengshuxue
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发表于 2018-5-10 21:20
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realnumber
算,混周期数列。
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发表于 2018-5-10 22:00
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本帖最后由 realnumber 于 2018-5-10 22:11 编辑
某$n_0$,若$a_{n_0}>a$,$a_{n_0}$为奇数,则$a_{n_0+2}<a_{n_0}$,可见总会有$t=n_1,n_2,...$(大于a的项若有无穷个,则t有无穷个),$a_{t}\le a$,而不大于a 的数,最多a个,若有$a_s=a_t$,则出现周期.
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realnumber
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发表于 2018-5-10 22:02
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本帖最后由 realnumber 于 2018-5-10 22:12 编辑
还是不算周期数列,难证,并加条件$a\ge a_0$,
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chudengshuxue
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chudengshuxue
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发表于 2018-5-12 20:36
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realnumber
某n0,an0>a没问题,为什么一定可以找到这样的an0,它是奇数?
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abababa
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发表于 2018-5-12 21:33
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chudengshuxue
发网友的证明:
设此操作为
\[f(a_n)=\begin{cases}
a_{n+1} & 2 \nmid a_{n+1}\\
\frac{1}{2}a_{n+1} & 2 \mid a_{n+1}
\end{cases}\]
如果$a_n$是偶数,那么必有$f(a_n)<a_n$,如果$a_n$是奇数,也必定存在数$p$,使得只要$a_n\ge p$就有$f(a_n)<a_n$,这是能做到的,只要选择$p=a+1$即可。于是以后的每次操作都必定把$f(a_n)$限定在$S=\{1,2,\cdots,p\}$中,这是有限集,即$f$是有限集$S$到$S$的映射,这种映射只有有限个,经无穷次操作后必定会重复,从此成为周期数列。
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力工
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发表于 2018-5-13 08:47
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本帖最后由 力工 于 2018-5-13 18:44 编辑
类似问题:已知数列${a_n}$满足$a_1=1,a_2=m,a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$,求${a_n}$为周期最小的数列时$m$的值 。
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realnumber
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发表于 2018-5-13 10:19
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chudengshuxue
偶数,总是被除以2,终会变奇数;
奇数太小的话(小于a),就是有限的个集合里面了
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Tesla35
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