两边+1分解即
\[(a+b+1)\left(\frac1{ab}+1\right)>\frac{11}2,\]
只需证
\[(2t+1)\left(\frac1{t^2}+1\right)>\frac{11}2,\]
其中 $t=\sqrt{ab}$,去分母整理为
\[4t(t-1)^2-t^2+2>0,\]
当 $t^2\leqslant2$ 时显然成立;当 $t^2>2$ 时
\[\LHS>4t(t-1)\bigl(\sqrt2-1\bigr)-t^2+2
>1.5t(t-1)-t^2+2=0.5t^2+2-1.5t\geqslant2t-1.5t>0,\]
即得证。 |