由平面几何关系可以得到:$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)\geqslant0$得到,$a^2+b^2+c^2\leqslant9R^2$,故$\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C\leqslant\dfrac94$,
于是,$\sin A+\sin B+\sin C\leqslant\sqrt{3(\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C)}\leqslant\dfrac{3\sqrt3}2$
另外,恒等式$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$,也可以用几何方法证明, |