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[函数] 求三角函数的范围

本帖最后由 走走看看 于 2018-3-3 15:12 编辑

$已知B是三角形的内角,求 \frac{1}{2}sinBcosB+\frac{\sqrt{3}}{6}sin^2B的范围$。
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回复 1# 走走看看
这个不是很平常的问题吗?我这渣渣都一看就知。“ZZKK"老师,里面有铁钉么?

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本帖最后由 走走看看 于 2018-3-3 15:06 编辑

回复 2# 力工

刚刚看出来。上午到了这里,把 $cosB化成\sqrt{1-cos^2B}$ 的形式,然后发现再平方就是高次项,就搁下来了。把它们化成两倍角就容易了。

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本帖最后由 走走看看 于 2018-3-3 19:33 编辑

回复 3# 走走看看

现在还有一题:
$在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?$
$要求写出推导过程,不用sinX的凹凸性。$

这道题有点麻烦。
$sinA+sinB+sinC=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+sinC=2cos\frac{C}{2}(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2})$
$                      =2cos\frac{C}{2}(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2})=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

到了这里,查了下公式,$ cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}≤\frac{3\sqrt{3}}{8}。$
$ 于是得到 A=B=C时取得最大值,最大值为\frac{3\sqrt{3}}{2}。$

关于 $ cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}≤\frac{3\sqrt{3}}{8}$ 的证明,参见:
http://wenda.xueersi.com/020BJ4K2017.html

希望有其他的推导。

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回复  走走看看

现在还有一题:
在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?
要求写出推导过程,不用sinX的 ...
走走看看 发表于 2018-3-3 15:39



    这都不写代码?!

http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=2564

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回复 5# isee


谢谢!
关于代码,在不影响美观的前提下,能不写就不写了。

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回复 6# 走走看看


    扯蛋。。。。

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本帖最后由 走走看看 于 2018-3-3 17:38 编辑

回复 7# isee

不用扯蛋了,扯蛋蛋疼,把它改了一下。

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回复 7# isee

何必强求他人写代码?
我都能想象到写代码对他来说是多累的活,所以你之前和他说文字公式分开写之类的显然是多余的,因为能省一个 \$ 就省一个 \$ ,只要能看就行了,所以我也决不会叫他把 $sin$ 写成 $\sin$ 。

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回复 9# kuing


    不对不对,如何是强求的,就不笑侃了。。。。

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本帖最后由 realnumber 于 2018-3-3 20:47 编辑

回复 4# 走走看看


    假定三角形ABC外接圆半径固定,那么先固定BC点,移动A点,在AB=AC时候,周长才最大--①。用反证法结束这个无限过程,假设有2边不一样,那么重复①。①可以利用椭圆,圆直观看到的。

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由平面几何关系可以得到:$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)\geqslant0$得到,$a^2+b^2+c^2\leqslant9R^2$,故$\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C\leqslant\dfrac94$,

于是,$\sin A+\sin B+\sin C\leqslant\sqrt{3(\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C)}\leqslant\dfrac{3\sqrt3}2$

另外,恒等式$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$,也可以用几何方法证明,

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回复 12# 其妙


哎呀,其妙公式代码强势回归啊。。。。

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回复  其妙


哎呀,其妙公式代码强势回归啊。。。。
isee 发表于 2018-3-4 14:49

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