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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 旧问重提——平面斜截圆锥的展开图
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kuing
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发表于 2018-1-28 18:57
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只看该作者
[几何]
旧问重提——平面斜截圆锥的展开图
闲逛时看到
这帖
提到平面斜截圆锥的展开图,多想将《撸题集》第533~534页的内容贴过去,可惜那边注册帐号要花钱,就算了。
回头想想,当年也只是写了椭圆的情况,并未讨论双曲线和抛物线的情形,闲来无事,今天就来把它扯完吧。
为方便看,还是把原文截上来先。
2018-1-28 18:54
2018-1-28 18:54
2018-1-28 20:13
首先直觉告诉我,讨论剩下的两种情形肯定不需要再像上面那样重新搞一遍,事实证明的确如此。
先来看双曲线的,这时要把顶上的圆锥也考虑进来,对应于上面的图 4.7.46,这里就应该画成这样:
2018-1-28 18:54
其他的都一样,然后同样利用梅捏劳斯定理,有
\[\frac x{2R-x}\cdot\frac{r+b}b\cdot\frac a{r-a}=1,\]
注意此式亦可写成
\[\frac x{2R-x}\cdot\frac{-b-r}{-b}\cdot\frac a{r-a}=1,\]
也就是说,只是将椭圆时的式子的 $b$ 变成 $-b$ 而已,或者干脆设 $\vv{OD}$ 为正方向,令有向线段 $\overline{OB}=b$,这样,双曲线时的方程就和椭圆时完全一样,只是 $b$ 取负数。
再看抛物线的,图是酱紫:
2018-1-28 18:54
$AQ\px OD$,没有 $B$,此时有
\[\frac x{2R-x}=\frac{r-a}a,\]
注意此式亦可写成
\[\frac x{2R-x}\cdot\frac{\infty-r}\infty\cdot\frac a{r-a}=1,\]
也就是椭圆时的式子的 $b$ 为无穷大而已,因此,将椭圆时的方程变形为
\[r=\frac{2a}{\frac ab+1+\left( 1-\frac ab \right)\cos\frac\theta{\sin\varphi}},\]
那么抛物线时的方程自然就是
\[r=\frac{2a}{1+\cos\frac\theta{\sin\varphi}}.\]
曲线的样子如下图所示,蓝色是抛物线的情形,$b$ 为负时如无意外地出现了两支。
2018-1-28 18:53
平面斜截圆锥展开图.gsp
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下载次数: 6440
2018-1-29 02:17
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发表于 2018-1-29 02:18
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只看该作者
搞这么个动画真是累
2018-1-29 02:18
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发表于 2018-1-29 08:30
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kuing
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发表于 2018-1-29 16:46
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只看该作者
直接输出png格式效果会好些,来个双曲线的情形,轨迹看起来确实和几何画板里画的差不多,看来应该没什么问题了
2018-1-29 16:46
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发表于 2018-2-10 23:24
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kuing
这个动图我。。。。想歪了
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发表于 2018-2-10 23:37
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其妙
你今天有空路过,奇了怪了。。。。
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发表于 2018-2-10 23:42
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isee
隔个十天半月还是会回来学习的(比如学习kk的技艺和你的知识等等)
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发表于 2019-7-28 23:46
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kuing
[另一种观点下的展开方法]
可展曲面展开过程中曲线的演化
https://zhuanlan.zhihu.com/p/75499641
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kuing
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发表于 2019-7-29 00:35
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青青子衿
[一脸懵逼表情]……
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