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一道关于递推数列的初始值对收敛性影响的题目

数列$a_n$中,$a_1=1$,$a_2=x>0$,并有递推公式
\[ a_{n+2}=\frac{a_n}{1+a_{n+1}} \]
问当$x$在何范围内取值时,数列收敛。
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数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

回复 1# zhcosin


    原来分母不是$1+a_n$。

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奇子列和偶子列都是单调递减且以0为下界,故极限就是0,只要$x>0$.

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回复 3# Infinity
两个子列都单调递减没问题,但是只能得出至少有一个子列下界为零,得不出两个子列的下界都是零吧?

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本帖最后由 Infinity 于 2018-1-21 16:23 编辑

回复 4# zhcosin

嗯,上面说极限值都为零是错的。因为下界存在只保证极限存在,但不能保证极限值一样。比如两个子列的收敛速度相差很大,那么其下确界不都为零是有可能的,因此极限值便不都为零。

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本帖最后由 Infinity 于 2018-1-22 14:22 编辑

设 $a^{*}$ 为递推方程的平衡解,代入后得 $a^{*}=0$.
考虑函数 $f(u,v)=\frac{v}{1+u}$,有\[\frac{\partial f}{\partial u}=-\frac{v}{(1+u)^2},\;\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{1}{1+u}\]令 $u=v=a^{*}=0$ 得\[\frac{\partial f}{\partial u}|_{u=v=a^{*}}=0,\;\frac{\partial f}{\partial v}|_{u=v=a^{*}}=1\]于是在平衡点处,有理递推式可线性化为\[a_{n+2}=0\cdot a_{n+1}+1\cdot a_n=a_n\]特征方程为\[y^2-1=0\]特征根在圆周|z|=1上,系统为临界稳定(随机稳定),可见最终奇偶子列可能收敛于不同的值,也可能收敛于同一个值(但不为零)。

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回复 6# Infinity
哎,微分方程我就不懂了。。。。

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回复 7# zhcosin

可以看看非线性系统的稳定性分析。

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