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$\sum_{n=1}^{\infty}\cdots=0$对任意x都成立,能推出$f(n)=0$吗?

如题,$\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n+1}f(n)=0$对任意x都成立,能推出$f(n)=0$吗?
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必然是的,因为$x^{2n+1}$构成的是线性独立的基. 令$X=(f(1),f(2),\cdots,f(n),\cdots)^T$,$x$ 取任意非零值,都有线性方程\[AX=0\]显然$\det A\neq 0$,那么齐次方程只有唯一零解$X=0$.

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回复 2# Infinity
谢谢。这个有限维的我能理解,但无穷维的我还理解不了。

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回复 3# abababa

无穷维的这种函数空间属于数学中的泛函分析领域,你可以看看相关教材。另外,如果你能理解广义傅里叶变换,这个也就不难理解。

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