本帖最后由 TSC999 于 2017-6-4 08:45 编辑
先说说我的计算结果吧。见下图:
为了计算引力,先建立坐标系如图。将半球面的球心放在坐标原点上,顶点 $ A $ 朝左,底面在 $ YOZ $平面内。假定球面的半径为$ R=1 $ ,则半球面的方程为:
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x^2+y^2+z^2=1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1) $
我们的问题就是计算放在$ x $轴的一个质点,当它沿$ x $轴从左向右 (或从右向左) 移动时(我们可以想象自己乘一架飞机沿$ x $轴飞行,飞机相对于半球面小得可以看做是一个质点),它受到的半球面的引力将怎样变化,特别是在图中$ A $点处,引力是否连续。
假定质点的质量为 $ m $,球面的质量面密度为 $ μ $,我们要规定该质点受到球面引力的 “正方向”:当质点受到的引力方向沿 $ x $ 轴正向时,认为引力为 “正”,而与 $ x $ 方向相反时,认为引力为 “负”。
在动手计算之前,先让我们凭 “直觉” 定性地猜测引力曲线的大致形状吧。
当质点位于正$ x $ 轴上、并且离坐标原点很远时,质点受半球面的吸引,方向沿负 $ x $ 轴,因此这时的引力是 “负”的;当质点位于负 $ x $ 轴上、并且离坐标原点很远时,质点受半球面的吸引,方向沿正 $ x $ 轴,这时的引力是 “正” 的。
现在的问题是,“正” 曲线与 “负” 曲线如何交汇呢?有人认为,它们大概是在半球面的 “重心” 处交汇:在该点,质点受到的引力是零。定性地画出引力曲线如图 2 所示。这条想象中的引力曲线是连续的。
然而,这条曲线画得并不正确。
下面让我们用积分方法定量地进行分析和计算,看引力曲线到底应该是什么样子。
在上面图 4 中的$ A $ 点,曲线不连续了,这一点的引力值等于左边那条曲线的右端点引力值与右边那条曲线的左端点引力值的算术平均值! |