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kuing 发表于 2013-8-8 17:19

来自人教群的$\sqrt\mathstrut+\sqrt[3]\mathstrut+\sqrt[4]\mathstrut$

[quote][attach]198[/attach][/quote]
题目:Given that the real numbers $x$, $y$ and $z$ satisfies the condition $x+y+z=3$, find the maximum value of
\[f(x,y,z)=\sqrt{2x+13}+\sqrt[3]{3y+5}+\sqrt[4]{8z+12}.\]

首先说明一下这题对 $y$ 应该要有下界限制,否则,令 $x=t$, $y=-t$, $z=3$,当 $t>5/3$ 时,有
\[f(t,-t,3)=\sqrt{2t+13}-\sqrt[3]{3t-5}+\sqrt[4]{36}
>\sqrt t-2\sqrt[3]t
=\sqrt[3]t\bigl(\sqrt[6]t-2\bigr),\]
故显然有
\[\lim_{t\to+\infty}\sqrt[3]t\bigl(\sqrt[6]t-2\bigr)=+\infty
\riff\lim_{t\to+\infty}f(t,-t,3)=+\infty,\]
即无最大值。

那么我这里就加多一个条件:$y\geqslant -23$。

下面用切线法,记 $f_1(x)=\sqrt{2x+13}$, $f_2(x)=\sqrt[3]{3x+5}$, $f_3(x)=\sqrt[4]{8x+12}$,为了用切线法后切线方程关于 $x$ 的系数相同,应有
\[f_1'(x_1)=f_2'(x_2)=f_3'(x_3),\]
这里的 $x_i$ 分别是 $f_i(x)$ 的切线方程与 $f_i(x)$ 的切点,当然也需要
\[x_1+x_2+x_3=3,\]
联立以上两式,代入求导后的式子,即为以下方程组
\[\left\{\begin{aligned}
&\frac1{\sqrt{2x_1+13}}=\frac1{\sqrt[3]{(3x_2+5)^2}}=\frac2{\sqrt[4]{(8x_3+12)^3}},\\
&x_1+x_2+x_3=3,
\end{aligned}\right.\]
这个方程组用常规方法其实是不好解的,但是通过观察系数,目测,却能很容易看出其中一组解是
\[\left\{\begin{aligned}
x_1&=\frac32,\\
x_2&=1,\\
x_3&=\frac12,
\end{aligned}\right.\]
这样,我们计算 $f_i(x)$ 在上述 $x_i$ 处的切线方程后,可知接下来只要证明的是以下三式
\begin{align*}
\sqrt{2x+13}&\leqslant \frac{2x+29}8,\\
\sqrt[3]{3y+5}&\leqslant \frac{y+7}4,\\
\sqrt[4]{8z+12}&\leqslant \frac{2z+15}8,
\end{align*}
分别乘方作差后得
\begin{align*}
\left(\frac{2x+29}8\right)^2-(2x+13)&=\frac{(2x-3)^2}{64}\geqslant 0,\\
\left(\frac{y+7}4\right)^3-(3y+5)&=\frac{(y-1)^2(y+23)}{64}\geqslant 0,\\
\left(\frac{2z+15}8\right)^4-(8z+12)&=\frac{(2z-1)^2(4z^2+124z+1473)}{4096}\geqslant 0,
\end{align*}

\[f(x,y,z)\leqslant \frac{2x+29}8+\frac{y+7}4+\frac{2z+15}8=\frac{x+y+z+29}4=8,\]
当 $x=3/2$, $y=1$, $z=1/2$ 时取等。


PS、本贴链接发到群里后:
[attach]216[/attach]

第一章 发表于 2013-8-8 17:36

神切线

其妙 发表于 2013-8-19 17:09

有没有解多个未知数的方程组的软件?
Mathematics的命令不会

其妙 发表于 2013-8-19 17:18

欲证明$\sqrt[3]{3y+5}\leqslant \dfrac{y+7}4$,可以用均值不等式。
因为$(y+7)^3+8^3+8^3\geqslant3\times64(y+7)$,故$(y+7)^3\geqslant64(3y+5)$

kuing 发表于 2013-8-19 17:35

[quote]欲证明$\sqrt[3]{3y+5}\leqslant \dfrac{y+7}4$,可以用均值不等式。
因为$(y+7)^3+8^3+8^3\geqslant3\times64(y+7)$,故$(y+7)^3\geqslant64(3y+5)$
[size=2][color=#999999]其妙 发表于 2013-8-19 17:18[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=614&ptid=97][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
注意我所加的条件是 $y\geqslant -23$ {:lol:} 明显这条件我是根据切线法设置的 {:lol:}

kuing 发表于 2013-8-19 17:51

[quote]有没有解多个未知数的方程组的软件?
Mathematics的命令不会
[size=2][color=#999999]其妙 发表于 2013-8-19 17:09[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=613&ptid=97][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
是 Mathematica
解方程组用命令 Solve[{方程组},{变量}],自己查帮助

其妙 发表于 2013-8-19 17:59

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=620&ptid=97]5#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
你你你!你陷害我!

kuing 发表于 2013-8-19 18:01

补充了一下当时本贴链接发到群里面的反应{:lol:}

kuing 发表于 2013-8-19 18:02

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=625&ptid=97]7#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
{:titter:}{:tongue:}

其妙 发表于 2013-8-19 18:02

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=620&ptid=97]5#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
不过那个三元均值不等式似乎不需要三元均为正数,只需要三元之和为非负数即可,$y+7+8+8\geqslant0$,即$y\geqslant-23$

其妙 发表于 2013-8-19 18:04

[quote]是 Mathematica
解方程组用命令 Solve[{方程组},{变量}],自己查帮助
[size=2][color=#999999]kuing 发表于 2013-8-19 17:51[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=624&ptid=97][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
谢谢,下次试一试

kuing 发表于 2013-8-19 18:06

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=628&ptid=97]10#[/url] [i]其妙[/i] [/b]

{:lol:} 这样也让你救了回来……

不过其实这是必然关系……

其妙 发表于 2013-8-19 18:07

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=630&ptid=97]12#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
{:handshake:} ,对,必然关系!

业余的业余 发表于 2018-12-4 05:05

漂亮! 得到的方程和用拉格朗日乘数法得到的一样,但拉格朗日乘数法要求考虑所有的critical points。切线法用切线得到三个不等式,直接得到函数的最大值,确实很锋利!

其妙 发表于 2018-12-18 22:52

我5年前居然也在这里发帖!{:funk:}

kuing 发表于 2018-12-18 23:02

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29163&ptid=97]15#[/url] [i]其妙[/i] [/b]

5年后你却只是偶尔才来水一波{:lol:}

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