悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 高等数学讨论 » 一个较复杂的级数

青青子衿 发表于 2021-4-21 16:38

一个较复杂的级数

[i=s] 本帖最后由 青青子衿 于 2021-4-21 16:42 编辑 [/i]

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\left(\frac{1}{5n-1}+\frac{1}{5n-3}\right)\left(\frac{1}{5n-2}+\frac{1}{5n-4}\right)\right]=\frac{4\pi}{15}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}
\end{align*}

abababa 发表于 2021-4-21 22:34

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=39024&ptid=7822]1#[/url] [i]青青子衿[/i] [/b]
发网友的解答，是用了留数的知识，我暂时没看懂。不过他最后说的那个是真的吗？{:sweat:}
[attach]9611[/attach][attach]9612[/attach]

kuing 发表于 2021-4-21 22:55

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=39032&ptid=7822]2#[/url] [i]abababa[/i] [/b]

最后那个哈哈哈O(∩_∩)O哈！{:lol:}

abababa 发表于 2021-4-23 19:32

请网友又发了一种方法，不过这难道就是他所说的依据？{:sweat:}
[attach]9613[/attach]

isee 发表于 2021-4-25 00:20

m大真是全才，高才~更佩服了~以前还只是仅仅停留在几何上~

abababa 发表于 2021-4-25 10:39

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=39063&ptid=7822]4#[/url] [i]abababa[/i] [/b]
查到一个这样的公式
\[\psi(n)=-\gamma+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=-\gamma+H_{n-1}\]
不过这里要求那个变量是整数，而且调和级数那个还是差的形式，$\frac{1}{n-\frac{4}{5}}$还不是正常的调和级数，他所说的调和数的我还没有头绪。但总觉得什么猫和老鼠的那个是在忽悠我{:sweat:}。

血狼王 发表于 2021-4-29 11:05

留数定理是通用的，我没意见
改成其他系数的话，或许更难做

Czhang271828 发表于 2021-5-2 23:02

[i=s] 本帖最后由 Czhang271828 于 2021-5-2 23:06 编辑 [/i]

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=39095&ptid=7822]6#[/url] [i]abababa[/i] [/b]

需要说明$\psi$的定义域问题. $\psi$函数可定义在$\mathbb C$上(实际上亚纯). 这里$\psi(x):=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log\Gamma(x)=\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$. 下列举些许性质:

对恒等式$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$求导, 得$\Gamma'(x+1)=x\Gamma'(x)+\Gamma(x)$. 因此
$$
\dfrac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}=\dfrac{x\Gamma'(x)}{x\Gamma(x)}+\dfrac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+1)}=\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}+\dfrac{1}{x}
$$
故$\psi(x+1)=\psi(x)+\dfrac{1}{x}$. 由于$\Gamma(x)$在$\mbox{Re}(x)\in(0,1]$时没有零点或极点, 因此$\psi(x)$不含零点或极点, 从而$\psi(x)$在$\mbox{Re}(x)>0$时良定义.

下面证明一般的$\psi(x)$展开表达.
$$
\psi (x+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right),\qquad x\neq -1,-2,-3,\ldots
$$
先由Weierstrass乘积式得到
$$
\Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}
$$
取对数得
$$
\log\Gamma(x)=-\gamma x-\log x+\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac{x}{n}-\log\left(1+\dfrac{x}{n}\right)\right)
$$
两侧再关于$x$求导, $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log\Gamma(x)=\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=\psi(x)$. 因此
$$
\psi(x)=-\gamma-\dfrac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+x-1}\right)
$$
明所欲证.


***

再帮M补一下引用(查看图床需科学上网)：

1. [url=https://i.loli.net/2021/05/02/kCzq2NPeUQoF3y7.jpg]因子分解, 行船猫 *Cruise Cat*. 3'28''[/url]

2. [url=https://i.loli.net/2021/05/02/Do7p3aMicSgFqyH.jpg]调和数, 飞天猫 *The Flying Cat*. 1'30''[/url]

3. [url=https://i.loli.net/2021/05/02/bga4rveTtM95W6x.jpg]余元思想, 台球猫 *Cue Ball Cat*. 2'52''[/url]

4. [url=https://i.loli.net/2021/05/02/AuohsUTGa9vWCkV.jpg]计算能力, 麻烦的诞生 *Hatch up your troubles*. 6'24''[/url]

abababa 发表于 2021-5-3 11:48

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=39166&ptid=7822]8#[/url] [i]Czhang271828[/i] [/b]

原来如此，那他在用的时候，是直接把两个括号里的$\frac{1}{x}$消去了，然后用了$\psi(1+x)=\psi(x)+\frac{1}{x}$这个性质，就正好变到下一等式。对我来说跳步太多了，太难看懂。

Infinity 发表于 2021-5-27 23:02

[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=39063&ptid=7822]4#[/url] [i]abababa[/i] [/b]
高斯双伽马(Digamma)定理的证明[url]https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=15255&pid=74041&fromuid=8865[/url]
和应用[url]https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=15255&pid=74040&fromuid=8865[/url]

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